Luento 3 to 13.9.

Tapahtumat:

Hiljainen hetki klo 12.00

Muutetaan vähän tyyliä. Ensin kirjallisuusviitteet ja sitten otteita ja yhteenvetoja luennoista.

KRE-kirjasta:

1.6 Linear DE ss. 33-36, Exa 2 s. 35 perusteellisesti ("kosinisuolasyöttö"). Bernoullia ei. Lineaarisen käsittely eri tavalla, koska jätimme eksaktin käsittelemättä. Käsiteltiin myös (HY):n yleinen + (EHY):n erikoinen tyyli
1.5 Eksaktit jätettiin väliin. Selvitettiin vain perusidea, ei yksityiskohtia (yleissivistävää).

Lineaariset 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Käsiteltiin KRE-kirjasta poikkeavalla tavalla. KRE:ssä käsittely palautetaan eksaktiin (ja integroivaan tekijään siinä yhteydessä). Teimme homman luennolla suoraan eksaktisuudesta riippumatta. (Eksaktit yhtälöt on kaikenlisäksi käsitelty KRE-kirjassa ikävän epäeksaktisti.)

Yleinen muoto:

(EHY)  y' + p(x)y = r(x)     (Yleinen lineaarinen, epähomog.) 

(HY)   y' + p(x)y = 0        (Homogeeninen yhtälö)

Ratkaisutapa 1, integroiva tekijä

Kerrotaan (EHY) funktiolla q(x), tavoitteena järjestää vasen puoli muotoon (F(x) y)' , jolloin ratkaisu palautuu integrointiin.

    q(x)(y' + p(x)y) = q(x) r(x)

      d               
      -- (q(x) y(x)) =  q(x)y'(x) + q'(x) y(x) 
      dx

Vaaditaan:

      q'(x)y = q(x)p(x)y   <==> q'(x) = q(x)p(x)

Toteutuu, jos valitaan

                                        /
                                        |
                            q(x) = exp( |  p(x) dx)
                                        |
                                        /

Näin saadaan monumentaalinen ratkaisukaava.

Ratkaisutapa 2, lineaarisuus

(HY):n yleinen + (EHY):n erikoinen.

Tämä johtuu pelkästään lineaarisuudesta ja perustuu kahteen havaintoon:

Havainto 1 Jos y₁ ja y₂ ovat (EHY):n ratkaisuja, niin y₁ - y₂ on (HY):n ratkaisu.

Havainto 2 Jos y on (EHY):n ratkaisu ja y_h on (HY):n ratkaisu, niin y + y_h on (EHY):n ratkaisu.

Päättely: Olkoon y_p jokin "hatusta tempaistu" (EHY):n ratkaisu (vakavasti ottaen esim. määräämättömien kertoimien menettelyllä haettu), ja olkoon y_h,C (HY):n yleinen ratkaisu. Jos nyt y on mikä tahansa (EHY):n ratkaisu, niin y - y_p on havainto 1:n mukaan (HY):n ratkaisu, joten y = y_p + y_h,C jollain vakion C arvolla.
Kääntäen kaikki tätä muotoa olevat ovat (EHY):n ratkaisuja havainto 2:n mukaan.

Huom! Sama päättely on pätevä korkeamman kertaluvun lineaarisissa ilman mitään muutoksia.

Menettely on yleensä helpompi kuin yleinen, integroivaan tekijään perustuva, tässä vältetään integrointi kokonaan. Vastapainoksi tämä ei ole yhtä yleispätevä, kenelläkään ei ole niin isoa hattua, että siitä voisi riittää tempaistavaa joka lähtöön.

Seosongelma, jossa kosinimuotoisesti vaihteleva suolasyöttö.



               --------|                    |
  Suolaliuosta 50 l/min ->                  |
               ---------                    |
   (1+cos t) kg/l      |.................. .|
                       |                    |
   alussa: 40 kg suolaa|   1000 l           |
                       |   t=0: 200 kg      -------------
                       |                      5 l/min ->
                        ---------------------------------
    y(t): suolamäärä hetkellä t.
    
      y'(t)= 50(1+cos t) - (y(t)/1000)*50
      y(0) = 200

Ei ole separoituva, mutta on lineaarinen, voidaan siis ratkaista ainakin integraalikaava-asteelle.
Integroivan tekijän menettely johtaa kohtalaisen työlääseen osittaisintegrointiin, konsultoimme Maplea: Esim KRE s. 35, seosprobleema,

Vaihtoehtoinen ratkaisutapa:

(HY):n ratkaisu nähdään heti y_h=C exp(-0.05 t) (osataanhan exp-funktion derivaatta)
(EHY):n ratkaisu on muotoa a cos t + b sin t + d

(Maija voisi sanoa, että "aivan pakko", johon Hannes voisi vastata: mutta minä keksin oman ratkaisuni: a cos t + b sin t + d - 0.2 exp(-0.05 t) ) Molemmat saisivat samat kertoimet a,b ja d ja molemmat olisivat oikeassa, miksi?