[Up]
http://www.math.hut.fi/teaching/v/2/L/kompluvut.html   16.1.01

Kompleksiluvuista

Kirjallisuutta

  1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, 8. painos Part D Complex Analysis, s. 651 - >
  2. [AG] Kivelä: Algebra ja geometria 3. Kompleksiluvut s. 41 ->
  3. [RA] Kivelä: Reaalimuuttujan analyysi Luku 5 ss. 72 - 75

Yhteenveto 1. luennosta ti 16.1

1. Luento alkaa

Kompleksiluku on yksinkertaisesti järjestetty reaalilukupari: z=(x,y) Kyseessä on vanhan tutun R2:n vektori.

Vitsi piilee siinä, että tavallisten vektorilaskutoimitusten 

      z1+z2 = (x1+x2,y1+y2)
      c z = (c x, c y)
lisäksi määritellään R2:n vektoreille kertolasku 
   z1z2 = (x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)
Määritelmä Kompleksilukujoukko C on reaalinen vektoriavaruus R2 varustettuna lisäksi edellä määritellyllä kertolaskulla.

Muistisääntö kertolaskuun: (Vastinalkioiden tulojen erotus, ristiinkerrottujen summa)

Reaaliakseli (x,0) samastuu reaalilukujoukkoon

Siksi, että

(x1,0)+(x2,0)=(x1+x2,0) ja (x1,0)(x2,0)=(x1x2,0)

Jokainen kompleksiluku z=(x,y) voidaan esittää kannan{(1,0),(0,1)} avulla: 

       z=x(1,0)+y(0,1)
(Huomaa, että reaalisella skalaarilla kertominen (VA-mielessä) on samaa kuin reaalisella kompleksiluvulla kertominen kompleksikertomielessä.)

Imaginaariyksikkö i

Merkitään erityisesti symbolilla i kompleksilukua (0,1) .

Kompleksilukujen käsittelyä Maplella

Vrt. myös [HAM] ss. 37 -39 
> z1:=8+3*I; z2:=9-2*I;
                            z1 := 8 + 3 I
                            z2 := 9 - 2 I
> z1-z2;
                               -1 + 5 I
> z1*z2;
                              78 + 11 I
> z1/z2;
                              66   43
                              -- + -- I
                              85   85
> z1:=x1+I*y1;z2:=x2+I*y2;
                           z1 := x1 + I y1
                           z2 := x2 + I y2
> z1/z2;
                              x1 + I y1
                              ---------
                              x2 + I y2
> evalc(%);

            x1 x2       y1 y2       /  y1 x2       x1 y2  \
          --------- + --------- + I |--------- - ---------|
            2     2     2     2     |  2     2     2     2|
          x2  + y2    x2  + y2      \x2  + y2    x2  + y2 /

Vastaavasti Matlabilla 

» format compact
» z1=8+3*i;z2=9-2*i;
» z1-z2
ans =
  -1.0000 + 5.0000i
» z1*z2
ans =
  78.0000 +11.0000i
» z1/z2
ans =
   0.7765 + 0.5059i
» format long;z1/z2
ans =
  0.77647058823529 + 0.50588235294118i
Symbolista osaa ei Matlabilla voi tehdä (paitsi Maplea kutsuvan symbolic toolboxin avulla, mutta mukavampaa suoraan Maplella toki).
1.luennon loppu

2. luento alkaa

De Moivre, juuret ja potenssit

Maple-funktioita kompleksilukuihin 

conjugate, abs, argument, Re, Im
Sievennykseen 
 evalc, expand, collect

Grafiikkaa

Miten saadaan kompleksilukujen listasta [x,y]-parien lista (joka kelpaa plot:lle).

Jos z:=x+I*y; , niin xy:=[Re(z),Im(z)];

Jos on annettu kompleksilukujen lista zlista:=[z1,z2,..,zn] , saadaan xylista elegantisiti määrittelemällä ensin funkio: 

  z2xy:=z->[Re(z),Im(z)];
Se sitten map:ataan zlistalle: 
   xylista:=map(z2xy,zlista);
Esim. 
> z2xy:=z->[Re(z),Im(z)];
                     z2xy := z -> [Re(z), Im(z)]
> z:=1+2*I: zlista:=[z,(z-1/2)^2,5*z/(-1+2*I)];
              zlista := [1 + 2 I, -15/4 + 2 I, 3 - 4 I]
> xylista:=map(z2xy,zlista);
               xylista := [[1, 2], [-15/4, 2], [3, -4]]
>plot(xylista,style=point,symbol=circle,scaling=constrained,labels=["Re
> ","Im"]);

complexplot

Edellä olevat työkalut voidaan unohtaa, sillä complexplot on oivallinen väline konformikuvauksiin.

Esim.

Piirretään ensin vaakajanaparvi (punaisella)ja parven kuva (sinisellä), kun kuvauksena on exp-funktio. 
complexplot([seq((x+k*I),k=[-1,-0.5,0,0.5,1])],x=-Pi..Pi);complexplot(
> [seq((exp(x+k*I)),k=[-1,-0.5,0,0.5,1])],x=-Pi..Pi,color=blue);
Sitten sama pystyjanaparvelle 
> complexplot([seq((k+y*I),k=[-1,-0.5,0,0.5,1])],y=-Pi..Pi);complexplot(
> [seq((exp(k+y*I)),k=[-1,-0.5,0,0.5,1])],y=-Pi..Pi,color=blue);
Kompleksilukupisteiden piirto sujuu niinikään vaivattomasti: > l := [1+2*I, 3+4*I, 5-I, 7-8*I]: > complexplot(l, x=0..10, style=point);

Kompleksiluvun n:nnet juuret: Maple-piirto 

> with(plots):
> w:=(k,n)->exp(I*2*k*Pi/n);  # ykkösen n:nnet juuret.
> n:=8: pisteet:=complexplot([seq(w(k,n),k=0..n-1)],x=-1..1,style=point,scaling=constrained):
> ymp:=complexplot(exp(I*t),t=0..2*Pi,color=blue):
> display([pisteet,ymp],scaling=constrained);