\documentclass[finnish,12pt]{article}
\usepackage{t1enc,a4,babel,amsmath,amsfonts,amstext,graphicx,psfrag,here}

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{2ex}
\setlength{\textwidth}{150mm}
\setlength{\oddsidemargin}{5mm}
\setlength{\evensidemargin}{5mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\topmargin}{-15mm}
\input{kbmakrot.tex}

\providecommand{\R}{\mathbb{R}}
\providecommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\providecommand{\N}{\mathbb{N}}
\providecommand{\norm}[2][]{\Vert #2 \Vert_{#1}}
\providecommand{\equ}[1]{(\ref{#1})}
\newcommand{\K}{{\cal K}}
\newcommand{\G}{{\cal G}}
\newcommand{\psim}{{\tilde{\psi}}}
\newcommand{\phim}{{\tilde{\phi}}}
\newcommand{\tm}{{\tilde{t}}}
\newcommand{\xm}{{\tilde{x}}}
\newcommand{\Km}{{\tilde{K}}}
\newcommand{\kys}{\textbf{(???)}}

\begin{document}
Kenrick Bingham \hspace*{8cm} 27.3.2000 \\
011209227 


\section*{Inversiospektraaliteorian harjoitusty�}


\subsection*{Yksiulotteinen spektraaliongelma}

Tarkastellaan ominaisarvo-ongelmaa
\begin{align}
  \label{eq:dy}
  -\phi''(x) + q(x) \phi(x) &= \lambda \phi(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \label{eq:vasendirichlet}
  \phi(0) &= 0 \\
  \label{eq:oikeadirichlet}
  \phi(1) &= 0,
\end{align}
miss� potentiaali $q(x)$ on v�lill� $[0,1]$ jatkuva funktio,
tai yleisemmin $L^\infty$-funktio. 

Suora ongelma on ominaisarvojen $\lambda = \lambda_n$ 
(ja niihin liittyvien ominaisfunktioiden $\phi = \phi_n$) selvitt�minen,
kun potentiaali $q$ tunnetaan. N�it� ominaisarvoja on numeroituva
m��r�, ne ovat yksinkertaisia ja ne noudattavat asymptotiikkaa
\begin{equation}
  \label{eq:lambdanasymptotiikka}
  \lambda_n = n^2 \pi^2 + \int_0^1 q(t) dt + O(1/n).
\end{equation}
Lis�ksi eri ominaisarvoihin liittyv�t ominaisfunktiot muodostavat
t�ydellisen orto\-gonaalisen vektorisysteemin. \cite{rundell}

K��nteinen spektraaliongelma puolestaan on
potentiaalin ratkaiseminen ominaisarvojen perusteella.
Osoittautuu, ett� k��nteisell� ongelmalla ei t�llaisenaan ole
yksik�sitteist� ratkaisua, ts.\ \emph{kielen muotoa ei voi kuulla}
--- ellei potentiaalin tiedet� olevan symmetrinen, $q(x) = q(1-x)$ 
\cite{kirsch, rundell}.
Ongelma ratkeaa kuitenkin yksik�sitteisesti, 
jos n�iden ominaisarvojen $\{\lambda_n\}$ lis�ksi tunnetaan ominaisarvot
$\{\mu_n\}$ tapauksessa, jossa oikean\-puoleisessa p��tepisteess� $x = 1$ 
on Dirichlet'n reunaehdon sijaan Robinin reuna\-ehto, ts.\
\begin{align}
  \label{eq:dyrobin}
  -\phi''(x) + q(x) \phi(x) &= \mu_n \phi(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \label{eq:vasendirichletrobin}
  \phi(0) &= 0 \\
  \label{eq:oikearobin}
  \phi'(1) - H \phi(1) &= 0
\end{align}
jollakin $H \in \R$.


\subsection*{Gelfand-Levitan-Marchenko-operaattori}


K��nteinen ongelma voidaan ratkaista k�ytt�m�ll� ns.\ 
\emph{Gelfand-Levitan-Marchenko-operaattoria} $\G$, joka kuvaa
alkuarvoteht�v�n
\begin{align}
  \label{eq:dyp}
  -\psi''(x) + p(x) \psi(x) &= \lambda \psi(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \label{eq:vasendirichletp}
  \psi(0) &= 0 
\end{align}
ratkaisun $\psi$
alkuarvoteht�v�n \equ{eq:dy}--\equ{eq:vasendirichlet}
ratkaisuksi $\phi$, jonka derivaatalla on sama alkuarvo, $\phi'(0) = \psi'(0)$:
\begin{equation}
  \notag % \label{eq:glm}
  \phi(x) = (\G \psi)(x) 
  = \psi(x) + \int_0^x K(x, t) \psi(t) \, dt.
\end{equation}
Operaattori $K$ riippuu tietenkin potentiaaleista $p$ ja $q$, mutta
on merkitt�v��, ett� se ei riipu parametrista $\lambda$; huomattakoon,
ett� kohdassa $x = 1$ ei t�ss� aseteta reunaehtoa, eli
parametrin $\lambda$ ei tarvitse olla ominaisarvo.

Integraaliydin $K$ toteuttaa t�ll�in seuraavan Goursat'n ongelman:
\begin{align}
  \label{eq:goursatody}
  K_{xx}(x, t) - K_{tt}(x, t)
  & + \big(p(t) - q(x)\big) K(x, t) = 0, \quad & (x, t) \in \Delta  \\
  \label{eq:goursat0reuna}
  K(x, 0) & = 0, & 0 \le x \le 1 \\
  \label{eq:goursatqpreuna}
  K(x, x) & = \frac{1}{2} \int_0^x \big(q(s) - p(s) \big) \,ds,
  & 0 \le x \le 1
\end{align}
miss� $\Delta = \{(x, t) \in \R^2 \,|\, 0 < t < x < 1\}$.
T�m� n�hd��n seuraavasti: 

Kun $p,\, q \in C^1([0, 1])$, Goursat'n ongelmalla on yksik�sitteinen 
ratkaisu $K \in C^2(\bar{\Delta})$ \cite[Theorem 4.15]{kirsch}.
Suora sijoitus osoittaa, ett� $\G \psi$ toteuttaa teht�v�n 
\equ{eq:dy}--\equ{eq:vasendirichlet}, jos $\psi$ toteuttaa
teht�v�n \equ{eq:dyp}--\equ{eq:vasendirichletp} ja $K$ Goursat'n ongelman
\equ{eq:goursatody}--\equ{eq:goursatqpreuna}. 
Alkuarvoteht�v�n \equ{eq:dy}--\equ{eq:vasendirichlet} ratkaisu
on Picardin--Lindel�fin lauseen mukaan yksik�sitteinen, kun 
huomioidaan my�s alkuehto $\phi'(0) = \psi'(0)$. 
Siten $\phi = \G \psi$, miss� $K$ toteuttaa Goursat'n ongelman
\equ{eq:goursatody}--\equ{eq:goursatqpreuna}. 
Yleinen tapaus $p, \, q \in L^\infty$ seuraa t�st� tiheysargumentilla
\cite[s.\ 156]{kirsch}.

\subsection*{K��nteisen ongelman yksik�sitteinen ratkeavuus}


Potentiaalin yksik�sitteinen m��r�ytyminen spektreist� $\{\lambda_n\}$
ja $\{\mu_n\}$ n�hd��n nyt seuraavasti: 
Olkoot $\{\lambda_n\}$ Dirichlet-Dirichlet-teht�v�n
\begin{align}
  \label{eq:udddy}
  -u''(x) + r(x) u(x) &= \lambda u(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \label{eq:uddvasen}
  u(0) &= 0 \\
  \label{eq:uddoikea}
  u(1) &= 0
\end{align}
ominaisarvot sek� potentiaalilla $r = q$ ett� $r = p$, ja
olkoot $\{\mu_n\}$ Dirichlet-Robin-teht�v�n
\begin{align}
  \label{eq:vdrdy}
  -v''(x) + r(x) v(x) &= \mu v(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \label{eq:vdrvasen}
  v(0) &= 0 \\
  \label{eq:vdroikea}
  v'(1) + H v(1) &= 0
\end{align}
ominaisarvot sek� potentiaalilla $r = q$ ett� $r = p$.
On siis osoitettava, ett� t�ll�in $q = p$.

Soveltamalla Gelfand-Levitan-Marchenko-opetaattoria
teht�v�n \equ{eq:udddy}--\equ{eq:uddoikea} ominaisfunktioihin
$\phi_n$ (potentiaalilla $r = q$) ja $\psi_n$ ($r = p$) 
n�hd��n reunaehdoista, ett� 
\begin{equation}  
  \notag
  0 = \phi_n(1) = (\G\psi_n)(1) = \int_0^1 K(1, t) \psi_n(t) \,dt
  \quad
  \text{kaikilla } n.
\end{equation}
Koska ominaisfunktiot $\psi_n$ muodostavat t�ydellisen ortogonaalisen 
systeemin, n�hd��n t�st�, ett� 
\begin{equation}
  \label{eq:Kon0}
  K(1, t) = 0, \quad 0 \le t \le 1.
\end{equation}
Vastaavasti Dirichlet-Robin-teht�v�n \equ{eq:vdrdy}--\equ{eq:vdroikea}
ominaisfunktioiden $\phim_n$
($r = q$) ja $\psim_n$ ($r = p$) reuna-arvoista n�hd��n, ett�
\begin{equation}
  \begin{split}
  \notag
  0  
  & = \phim_n'(1) + H\phim_n(1) 
\\&
  = (\G\psim_n)'(1) + H (\G\psim_n)(1) 
\\&
  = \int_0^1 \big(K_x(1, t) + H K(1, t)\big)\, \psim_n(t) \, dt
  \quad
  \text{kaikilla } n,
  \end{split}
\end{equation}
joten j�lleen ominaisfunktioiden t�ydellisyyden ja ortogonaalisuuden
nojalla
\begin{equation}
  \label{eq:Kxon0}
  K_x (1, t) = 0, \quad 0 \le t \le 1.
\end{equation}
Yhdist�m�ll� ehdot \equ{eq:Kon0} ja \equ{eq:Kxon0} 
Goursat'n ongelman yht�l�ihin \equ{eq:goursatody} ja \equ{eq:goursat0reuna}
n�hd��n, ett� $K$ toteuttaa yht�l�t
\begin{align}
  \notag
  K_{xx}(x, t) - K_{tt}(x, t) + \big(p(t) - q(x)\big) K(x, t) & = 0, 
  \quad (x, t) \in \Delta  \\
  \notag
  K(x, 0) & = 0, \quad 0 \le x \le 1 \\
  \notag
  K(1, t) & = 0, \quad 0 \le t \le 1 \\
  \notag
  K_x (1, t) & = 0, \quad 0 \le t \le 1.
\end{align}
Muuttujanvaihdoksella $\tilde{t} = 1 - x$, $\tilde{x} = t$, 
$\Km(\xm, \tm) = K(x, t)$ t�m� muuntuu 
standardi\-muotoiseksi alku-reuna-arvo-ongelmaksi
\begin{align}
  \notag
  \Km_{\xm\xm}(\xm, \tm) - \Km_{\tm\tm}(\xm, \tm)  
  + \big(p(\xm) - q(1 - \tm)\big) \Km(\xm, \tm) & = 0 ,
                                       \quad (\xm, \tm) \in \tilde{\Delta} \\
  \notag
              \Km(\tm, 0) & = 0, \quad  0 \le \tm \le 1\\
  \notag
              \Km(0, \xm) & = 0, \quad  0 \le \xm \le 1 \\
  \notag
  \Km_{\tm}(0, \xm) & = 0, \quad  0 \le \xm \le 1,
\end{align}
miss�
$\tilde{\Delta} = \{(\xm, \tm) \in \R^2 \,|\, \xm > 0,\, 0 < \tm < 1 - \xm\}$. 
(Katso kuva \ref{fig:muuttvaihdos}.)
\begin{figure}[H]
  \begin{center}
     \psfrag{tm}{\small$\tm$}
     \psfrag{xm}{\small$\xm$}
     \psfrag{t}{\small$t$}
     \psfrag{x}{\small$x$}
     \psfrag{1}{\small1}
     \psfrag{Deltam}{\small$\tilde{\Delta}$}
     \psfrag{Deltah}{\small$\hat{\Delta}$}
     \psfrag{Delta}{\small$\Delta$}
%    \includegraphics[width=12cm]{muuttvaihto2.eps}
%    \caption{Muuttujanvaihdos $\tilde{t} = 1 - x$, $\tilde{x} = t$
%      ja laajennus alueeseen $\hat{\Delta}$.}
    \includegraphics[width=8cm]{muuttvaihto.eps}
    \caption{Muuttujanvaihdos $\tilde{t} = 1 - x$, $\tilde{x} = t$.}
    \label{fig:muuttvaihdos}
  \end{center}
\end{figure}
% T�m� ongelma voidaan jatkaa edelleen alueeseen 
% $\hat{\Delta} = \{(\xm, \tm) \in \R^2 \,|\, 0 < \tm < 1 - |\xm|\}$,
% jossa $\Km$ toteuttaa ongelman
% \begin{align}
%   \notag
%   \Km_{\xm\xm}(\xm, \tm) - \Km_{\tm\tm}(\xm, \tm)  
%   + \big(p(|\xm|) - q(1 - \tm)\big) \Km(\xm, \tm) & = 0 ,
%                                          \quad (x, t) \in \hat{\Delta} \\
%   \notag
%               \Km(0, \xm) & = 0, \quad  -1 \le \xm \le 1 \\
%   \notag
%   \Km_{\tm}(0, \xm) & = 0, \quad  -1 \le \xm \le 1.
% \end{align}
% % Alue $\hat{\Delta}$ on t�sm�lleen alkuarvok�yr�n 
% % $\tm = 0$, $-1 \le \xm \le 1$ riippuvuusalue, joten
% Holmgrenin-Johnin lauseen mukaan
T�ll� ongelmalla on yksik�sitteinen ratkaisu $\Km \equiv 0$
\cite[luku IV.2]{ladyzhenskaya}.
Siten my�s $K \equiv 0$ alueessa $\bar{\Delta}$, joten
yht�l�n \equ{eq:goursatqpreuna} perusteella
\begin{equation}
  \notag
  q(x) - p(x) = 2 \, \frac{d}{dx} \, K(x, x) \equiv 0
\end{equation}
eli $q = p$, mik� oli todistettava.


\subsection*{Yleistyksi�}

Edell� vaadittiin $\lambda_n$:ille sek� vasemmassa ett� oikeassa 
p��tepisteess� Dirichlet'n reunaehto, ja $\mu_n$:ille vasemmalla
Dirichlet'n reunaehto ja oikealla Robinin reunaehto. 
Reunaehdot voidaan kuitenkin valita yleisemmin:
Oikealla reunaehdot voivat olla mitk� vain,
\begin{align}
  \notag
  u'(1) + H  u(1) &= 0  \quad \lambda_n \text{:ille} \\
  \notag
  u'(1) + H' u(1) &= 0  \quad     \mu_n \text{:ille}.
\end{align}
Vasemmalla reunaehto voi niinik��n olla mik� vain,
% \begin{equation}
%   u'(0) - h h(0) = 0,
% \end{equation}
mutta kuitenkin sama sek� $\lambda_n$:ille ett� $\mu_n$:ille.
(Kun $H = 0$, on kyseess� Neumannin reunaehto. Sis�llytet��n
n�ihin merkint�ihin my�s Dirichlet'n reunaehto
kirjoittamalla silloin $H = \infty$.)

Spektrit $\{\lambda_n\}$ ja $\{\mu_n\}$ m��r��v�t 
itse asiassa yksik�sitteisesti my�s reunaehdot:
Jos reunaehtojen \equ{eq:uddvasen}--\equ{eq:uddoikea},
\equ{eq:vdrvasen}--\equ{eq:vdroikea} sijaan vaadittaisiin vain,
ett� $\lambda_n$:t ovat teht�vien
\begin{align}
  \notag % \label{eq:qh1H1dy}
  -u''(x) + \pmb{q}(x) u(x) &= \pmb{\lambda_n} u(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \notag % \label{eq:qh1H1vasen}
  u'(0) - \pmb{h_1} u(0) &= 0 \\
  \notag % \label{eq:qh1H1oikea}
  u'(1) + \pmb{H_1} u(1) &= 0
\end{align}
ja
\begin{align}
  \notag % \label{eq:ph2H2dy}
  -u''(x) + \pmb{p}(x) u(x) &= \pmb{\lambda_n} u(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \notag % \label{eq:ph2H2vasen}
  u'(0) - \pmb{h_2} u(0) &= 0 \\
  \notag % \label{eq:ph2H2oikea}
  u'(1) + \pmb{H_2} u(1) &= 0
\end{align}
ominaisarvot, ja ett� $\mu_n$:t ovat teht�vien
\begin{align}
  \notag % \label{eq:qh1H1pdy}
  -u''(x) + \pmb{q}(x) u(x) &= \pmb{\mu_n} u(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \notag % \label{eq:qh1H1pvasen}
  u'(0) - \pmb{h_1} u(0) &= 0 \\
  \notag % \label{eq:qh1H1poikea}
  u'(1) + \pmb{H_1'} u(1) &= 0
\end{align}
ja
\begin{align}
  \notag % \label{eq:ph2H2pdy}
  -u''(x) + \pmb{p}(x) u(x) &= \pmb{\mu_n} u(x), \quad 0 < x < 1 \\
  \notag % \label{eq:ph2H2pvasen}
  u'(0) - \pmb{h_2} u(0) &= 0 \\
  \notag % \label{eq:ph2H2poikea}
  u'(1) + \pmb{H_2'} u(1) &= 0
\end{align}
ominaisarvot, n�ht�isiin, ett� t�ll�in sen lis�ksi, ett� $q = p$,
niin my�s $h_1 = h_2$, $H_1 = H_2$ ja $H_1' = H_2'$.
T�m�n seikan todistaminen onnistuu periaatteessa samalla tekniikalla
kuin edell�, mutta laskut ovat hieman monimutkaisempia. \cite{rundell}

Potentiaali m��r�ytyy yksik�sitteisesti my�s,  
jos spektrin $\{\lambda_n\}$ lis�ksi tunnetaan
toisen spektrin $\{\mu_n\}$ sijaan 
normeerausehdon $\phi'(0)=1$ toteuttavien ominaisfunktioiden 
$L^2$-normit $\rho_n = \norm[L^2]{\phi_n}$.
T�m� on helppo osoittaa spektraaliteoriaa k�ytt�m�ll�:
Operaattori $\G$ kuvaa ortonormaalin kannan $\{\psi_n\}$
ortonormaaliksi kannaksi $\{\phi_n\}$, joten se on unitaarinen.
Siis operaattori
\begin{equation}
  \notag
  \K = \G - 1:\, \psi(x) \mapsto \int_0^x K(x, t) \psi(t) \, dt
\end{equation}
on normaali, ja siis $\K$:lla on ainakin yksi ominaisarvo $\lambda_0$, 
jonka itseisarvo on $\norm{\K}$.
Toisaalta $\K$ on Volterra-operaattori, joten sen
spektraalis�de on $\sigma_R(\K) = 0$. 
Siten $0 \le \norm{\K} = |\lambda_0| \le \sigma_R(\K) = 0$, joten $\K = 0$
eli $K(x, t) \equiv 0$. Siis 
\begin{equation}
  \notag
  q(x) - p(x) = 2 \, \frac{d}{dx} \, K(x, x) \equiv 0.
\end{equation}


\subsection*{Numeerinen rekonstruktio}

K�yt�nn�ss� 
teht�vien \equ{eq:dy}--\equ{eq:oikeadirichlet} 
ja \equ{eq:dyrobin}--\equ{eq:oikearobin} ominaisarvoja
$\lambda_1$, \ldots, $\lambda_N$ ja $\mu_1$, \ldots, $\mu_N$
tunnetaan tietenkin vain ��rellinen m��r�.
Potentiaali $q$ pyrit��n rekonstruoimaan niist� likimain.

T�ss� voidaan k�ytt�� apuna ominaisfunktioiden esityst� 
\begin{equation}
  \notag
  \phi_n(x) = \G \psi_n(x),
\end{equation}
miss� $\psi_n(x) = \sin \sqrt{\lambda_n} x$ toteuttaa 
alkuarvoteht�v�n \equ{eq:dyp}--\equ{eq:vasendirichletp}, $\psi'(0) = 1$
yksinkertaisessa tapauksessa $p = 0$, $\lambda = \lambda_n$.\footnote{%
  Huomattakoon, ett� $\lambda_n$:t eiv�t siis ole ominaisarvoja 
  potentiaalilla $p = 0$, vaikka niin aluksi luulin sotkettuani mieless�ni
  ominaisarvoteht�v�n ja Gelfand-Levitan-Marchenko-operaattorin
  kesken��n.
}
Reunaehdoista saadaan t�ll�in ehtoja funktioille
$K(1, t)$ ja $K_x(1, t)$. 
Lis�ksi saadaan yht�l�ist� \equ{eq:lambdanasymptotiikka} ja 
\equ{eq:goursatqpreuna} ehto
\begin{equation}
  \notag
  K(1, 1) = \int_0^1 q(s) \,ds 
          = \lim_{n\to\infty} (\lambda_n - n^2 \pi^2) 
         := c_0.
\end{equation}
Jos funktioita $K(1, t)$ ja $K_x(1, t)$ approksimoidaan sinifunktioiden 
polynomeilla, n�ist� ehdoista saadaan matriisiyht�l�, 
josta kertoimet voidaan ratkaista.

Funktiot $K$ ja $q$ toteuttavat siis sek� Cauchyn ongelman
\begin{align}
  \label{eq:cauchyody}
  K_{xx}(x, t) - K_{tt}(x, t) & - q(x) K(x, t) = 0, 
  \quad & (x, t) \in \Delta  \\
  \label{eq:cauchyKreuna}
  K(1, t) & = c_0 + \sum_{k=1}^N c_n \, \sin n\pi x, & 0 \le t \le 1 \\
  \label{eq:cauchyKxreuna}
  K_x(1, t) & = \sum_{k=1}^N d_n \, \sin n\pi x,
  & 0 \le t \le 1
\end{align}
ett� Goursat'n ongelman
\begin{align}
  \label{eq:goursatody2}
  K_{xx}(x, t) - K_{tt}(x, t) & - q(x) K(x, t) = 0, 
  \quad & (x, t) \in \Delta  \\
  \label{eq:goursat0reuna2}
  K(x, 0) & = 0, & 0 \le x \le 1 \\
  \label{eq:goursatqpreuna2}
  K(x, x) & = \frac{1}{2} \int_0^x q(s) \,ds,
  & 0 \le x \le 1.
\end{align}
Nyt voidaan ajatella $K(x, t) = K(x, t; q)$ ratkaistuksi 
Cauchyn ongelmasta \equ{eq:cauchyody}--\equ{eq:cauchyKxreuna}, 
jolloin yht�l�st� \equ{eq:goursatqpreuna2} saadaan
\begin{equation}
  q(x) = 2 \frac{d}{dx} K(x, x; q) =: T[q](x).
\end{equation}

Potentiaalin ratkaiseminen merkitsee siis operaattorin $T$ 
kiintopisteen $q$ etsimist�.
Osoittautuu, ett� $T$ on Volterra-operaattori, jolla on yksik�sitteinen 
kiintopiste, ja iteraatio
\begin{equation}
  q_{k+1}(x) = T[q_k](x)
\end{equation}
suppenee kohti t�t� kiintopistett�.

Suppeneminen on varsin nopeaa siisteille potentiaaleille.
Approksimaatiot muistuttavat t�ll�in l�heisesti $q$:n Fourier-sarjan 
osasummia, joihin on otettu tunnettuja ominaisarvoja vastaavat 
Fourier-komponentit. T�m� selittyy sill�, ett� Volterra-operaattorin
vakiotermi muodostuu funktioiden $K(1, t)$ ja $K_x(1, t)$
Fourier-sarjojen osasummista, ja nopea suppeneminen tarkoittaa, ett� 
jo t�m� vakiotermi approksimoi potentiaalia $q$ varsin hyvin.
\cite{rundell}


\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{kirsch}{Andreas Kirsch.
    \emph{An introduction to the mathematical theory of inverse problems.}
    Applied Mathematical Sciences 120.
    Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg, 1996. ISBN 0-387-94530-X.}
\bibitem{ladyzhenskaya}{O. A. Ladyzhenskaya. 
    \emph{The boundary value problems of mathematical physics.}
    Applied Mathematical Sciences 49.
    Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo, 1986.
    ISBN 0-387-90989-3.}
\bibitem{rundell}{William Rundell. \emph{Inverse Sturm-Liouville problems.}
    Luku 3 teoksessa:
    K. Chadan, D. Colton, L. P�iv�rinta, W. Rundell.
    \emph{An introduction to inverse scattering and inverse spectral 
      problems.}
    SIAM Monographs on Mathematical Modeling and Computation.
    SIAM, 1997.
    ISBN 0-89871-387-0.
    }
% \bibitem{rs1}{W. Rundell, P. E. Sacks. \emph{Reconstruction techniques for
%     classical inverse Sturm-Liouville problems.}
%     Mathematics of Computation, 58(197), 1992, sivut 161--183.}
\end{thebibliography}

\end{document}

