\documentclass[finnish,11pt]{article}
\usepackage{t1enc,a4,babel,epsfig,psfrag,amsmath,latexsym,amsfonts,array}
%\usepackage[ctagsplt]{amsmath}
\usepackage{hyperref,times}  % PDF:�� varten

\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\textwidth}{160mm}
\setlength{\parskip}{2ex}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\topmargin}{-15mm}
%\renewcommand{\thebibliography}{...}
\input{kbmakrot}

\newcommand{\II}{\mathcal{I}}
\newcommand{\J}{J_1(\mathbb{R} \times \mathbb{R})}
\newcommand{\JJ}{J_2(\mathbb{R} \times \mathbb{R})}
\newcommand{\TJ}{T\left( \J \right)}
\newcommand{\TpJ}{T\left( \J \right)_p}
\newcommand{\TJJ}{T\left( \JJ \right)}
\newcommand{\Tt}[1]{T^*(#1)}
\newcommand{\TtJ}{\Tt{\J}}
\newcommand{\TtJJ}{\Tt{\JJ}}
\newcommand{\vv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\dimnb}{\dim\mathcal{N}(\B)}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\vastaa}{\stackrel{\wedge}{=}}
\newtheorem{maar}{M��ritelm�}[section]
\newtheorem{lause}{Lause}[section]
\newtheorem{esim}{Esimerkki}[section]
\newenvironment{tod}
  {\par\vspace{-2ex}\textbf{Todistus}\,\,}{\hfill$\Box$\vspace{1ex}\par}

\newcommand{\poistovedoksesta}[1]{}        %vedos
\renewcommand{\poistovedoksesta}[1]{#1}    %t�ydellisempi


\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\vspace*{\fill}
\begin{center}
{\LARGE Mat-1.139 Matematiikan erikoisty�t\\[2ex]
Whitneyn sateenvarjo suihkuavaruudessa}

\vspace{4ex}{\large 
Kenrick Bingham\footnote{\tt http://www.hut.fi/\~{}kenny/}  \\
41857A, Tf
\vspace{2ex} 

%\tanaan
26.2.1997
}

\end{center}
\vfill\vfill
\pagebreak


\poistovedoksesta{\tableofcontents \pagebreak}


\section{Johdanto}

Differentiaaligeometrinen menetelm� on er�s 
tavallisten differentiaali\-yht�l�iden ratkaisu\-menetelm�.
Siin� tarkastellaan geometrisesti 
differentiaaliyht�l�n m��r��m�� pintaa suihkuavaruudessa. 
Suihkuavaruutta voidaan ajatella $\mathbb{R}^{q+2}$:na,
jossa koordinaatit ovat differentiaaliyht�l�n vapaa muuttuja $x$,
ratkaisu $y$ ja sen derivaatat 
$y_1=\frac{dy}{dx},\, \ldots,\, y_q=\frac{d^q y}{dx^q}$.

Differentiaaliyht�l�n ratkaisuk�yr� kulkee t�ll� pinnalla.
K�yr�n suunta pinnan kussakin pisteess� m��r�ytyy, kun huomioidaan
lis�ksi $y_i$:den derivaattaluonne.
Ratkaisuk�yr�� voidaan laskea numeerisesti
etenem�ll� aina pieni askel kerrallaan n�in laskettuun suuntaan.

Jos pinta leikkaa itsens�, saattaa ratkaisuk�yr�n suunnan laskeminen
tuottaa ongelmia: kun eri lehdill� kulkevat ratkaisuk�yr�t leikkaavat
toisensa, ratkaisuk�yr�n kulkusuunta ei ole yksik�sitteinen niiden
leikkauspisteess�.  Jos kuitenkin ratkaisuk�yrien korkeamman
kertaluvun derivaatat eroavat, voidaan siirty� korkeamman kertaluvun
suihkuavaruuteen, jossa ratkaisuk�yr�t kulkevat erill��n, eik� pinta
en�� leikkaa itse��n.

Korkeamman kertaluvun derivaatoille saadaan riippuvuuksia derivoimalla
alkuper�ist� differentiaaliyht�l�� $x$:n suhteen, ja poistamalla
pinnasta ep�oleelliset osat hy�dynt�en kommutatiivisen algebran
ns.\ prim��ridekompositiota.

T�ss� erikoisty�ss� tarkastellaan esimerkkin� er�st� itsens�
leikkaavaa pintaa, ns. Whitneyn sateenvarjoa, 
kolmiulotteisessa suihkuavaruudessa. Koska kolme koordinaattia
voidaan ajatella $x$:ksi, $y$:ksi ja $y_1$:ksi $3! = 6$ tavalla,
saadaan kuusi erilaista tapausta. 
N�ist� kolmessa leikkauskohdan kautta kulkee useita ratkaisuja.
Leikkauskohta saadaan kaikissa kolmessa tapauksesa ``kierretty�''
siirtym�ll� neliulotteiseen avaruuteen.

Differentiaali\-geometrinen menetelm� soveltuu my�s
differentiaali\-yht�l�\-systeemien ratkaisemiseen, jolloin joudutaan 
toimimaan v�hint��n viidess� ulottuvuudessa
($x$, $y^1$, $y^2$, $y^1_1 = \tfrac{d}{dx} y^1$, $y^2_1 = \tfrac{d}{dx} y^2$). 
T�ss� erikois\-ty�ss� on havainnollisuuden ja yksinkertaisuuden vuoksi
rajoituttu tarkastelemaan yhden tuntemattoman funktion
differentiaaliyht�l�it�.

Lukijalle lienee eduksi differentiaaligeometrian ja algebran 
perusk�sitteiden tuntemus esimerkiksi l�hteiden \cite{janich} 
ja \cite{nicholson} pohjalta. 
Koko ajan liikutaan kuitenkin $\mathbb{R}^3$:ssa ja $\mathbb{R}^4$:ssa,
joten ensimm�isen vuoden korkeakouluopinnot matematiikassa antanevat
riitt�v�n pohjan asian ymm�rt�miselle p��piirteiss��n,
kenties lukuunottamatta prim��ridekompositio-osuutta.



\section{Singulaarinen systeemi suihkuavaruudessa}

\subsection{Whitneyn sateenvarjo}

Whitneyn sateenvarjoksi kutsutaan yht�l�n
\begin{equation}
  \label{whitney}
  F(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_3 x_2^2 = 0
\end{equation}
ratkaisujoukkoa $\mathbb{R}^3$:ssa. Se koostuu pinnasta puoliavaruudessa 
$x_3 \ge 0$ (ks.\ kuva \ref{fig:whitney})
sek� ``sateenvarjon kahvasta'' $x_1=x_2=0,\; x_3 < 0$.
Pinta on n�ist� mielenkiintoisempi osa tarkasteltaessa jatkossa
differentiaaliyht�l�it�, jotka saadaan ajattelemalla
$\mathbb{R}^3$:a suihkuavaruutena $\J$. 

Pinnan poikkileikkaukset $x_1x_2$-tasossa ovat kaksi toisensa leikkaavaa,
origon kautta kulkevaa suoraa, joiden kulmakertoimet ovat $\pm \sqrt{x_3}$.
Poikkileikkaukset $x_1x_3$-tasossa puolestaan ovat paraabeleja
ja $x_2x_3$-tasossa k�yri� $x_3=c/x_2^2$.

\poistovedoksesta{
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \epsfig{file=whitney.eps, width=8cm}
    \caption{Whitneyn sateenvarjon pinta}
    \label{fig:whitney}
  \end{center}
\end{figure}
}

Kyseess� ei ole 2-monisto, sill� pinta leikkaa itsens� pitkin
positiivista $x_3$-akselia. Sit� voidaan kuitenkin tarkastella
moniston $\mathbb{R}^3$ osajoukkona, jolloin $x_1$, $x_2$ ja $x_3$
ovat $\mathbb{R}^3$:n lokaaleja koordinaatteja.

Avaruus $\mathbb{R}^3$ voidaan nyt tulkita 
\emph{suihkuavaruudeksi} \label{def:suihkuavaruus}
$\J$, kun muuttujien $x_1$, $x_2$ ja $x_3$ ajatellaan olevan 
differentiaaliyht�l�n vapaa muuttuja $x$, differentiaaliyht�l�n 
ratkaisu $y$ ja sen derivaatta $y_1 = \dodo{y}{x}$. 
Muuttujat $x_1$, $x_2$ ja $x_3$ voidaan samaistaa
muuttujiin $x$, $y$ ja $y_1$ kuudella eri tavalla:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
   & $ x_1 $ & $ x_2 $ & $ x_3 $ \\ \hline
1  & $  x  $ & $  y  $ & $ y_1 $ \\
2  & $  x  $ & $ y_1 $ & $  y  $ \\
3  & $  y  $ & $  x  $ & $ y_1 $ \\
4  & $  y  $ & $ y_1 $ & $  x  $ \\
5  & $ y_1 $ & $  x  $ & $  y  $ \\
6  & $ y_1 $ & $  y  $ & $  x  $ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

T�ll�in yht�l� (\ref{whitney}) m��r�� differentiaaliyht�l�n
\begin{equation}
  \label{fon0}
  f(x, y, y_1) = 0,
\end{equation}
jonka ratkaisuk�yr� kulkee sateenvarjopinnalla.
Singulariteetissa eli sill� suoralla, jolla pinta leikkaa itsens�,
ratkaisun k�ytt�tymiselt� tai sen laskemiselta voidaan odottaa
jotakin erikoista.


\subsection{Klassiset ratkaisut}
Differentiaaliyht�l�lle (\ref{fon0}) 
saadaan kaikilla eri permutaatioilla klassiset ratkaisut:
\begin{eqnarray*}
1. && x^2-y_1y^2=0 
  \ekv y_1=\tfrac{x^2}{y^2} \ekv \tfrac{y^3}{3}=\tfrac{x^3}{3}+C_1
  \ekv y=\left(x^3+C\right)^{1/3} \\
2. && x^2-yy_1^2=0
  \ekv y_1=\pm\tfrac{x}{\sqrt{y}} 
  \ekv \tfrac{2}{3}y^{3/2}=\tfrac{x^2}{2}+C_1 
  \ekv y=\left(\tfrac{3}{4}x^2+C\right)^{2/3} \quad (y\ge 0) \\
3. && y^2-y_1x^2=0
  \ekv y_1=\tfrac{y^2}{x^2} \ekv -\tfrac{1}{y}=-\tfrac{1}{x}-C
  \ekv y=\tfrac{x}{1+Cx} \\
4. && y^2-xy_1^2=0
  \ekv y_1=\pm\tfrac{y}{\sqrt{x}} 
  \ekv \ln |y|=\pm 2\sqrt{x}+\ln C
  \ekv y=Ce^{\pm 2\sqrt{x}} \quad (x>0) \\
5. && y_1^2-yx^2=0
  \ekv y_1=\pm x\sqrt{y} \ekv 2\sqrt{y}= C_1 \pm \tfrac{x^2}{2}
  \ekv y = (C\pm \tfrac{x^2}{4})^2 \quad (y\ge 0) \\
6. && y_1^2-xy^2=0
  \ekv y_1=\pm y\sqrt{x} \ekv \ln|y|=\pm\tfrac{2}{3}x^{3/2}+\ln|C|
  \ekv y=Ce^{\pm\tfrac{2}{3}x^{3/2}} \quad (x>0)
\end{eqnarray*}


\subsection{Ratkaiseminen suihkuavaruusmenetelm�ll�}

Differentiaaliyht�l�� voidaan l�hte� ratkaisemaan
suihkuavaruudessa numeerisesti seuraavalla
differentiaaligeometrisella menetelm�ll�.
\cite{jukkajateijo, teijo, jukka}

Pinnan $f = 0$ tangenttitaso pisteess� $p = (x,y,y_1) \in \J$ 
on 1-kodimensioinen tangentti\-avaruuden $\TpJ$ ali\-avaruus
\begin{equation}
  \label{ftangenttitaso}
  df^{-1} \{0\} = \left\{ v \in \TpJ \,|\, df(v) = 0 \right\},
\end{equation}
miss�
\begin{equation}
  \label{df}
  df = \dodo{f}{x}\, dx + \dodo{f}{y}\, dy + \dodo{f}{y_1}\, dy_1 \in \TtJ
\end{equation}
on $f$:n differentiaali.\footnote
  {Funktion differentiaali vastaa $\mathbb{R}^n$:n vektorianalyysin
  Jacobin matriisia, joten yht�l� $df(v) = 0$ voidaan kirjoittaa 
  kenties tutummin merkinn�in $\nabla f \cdot \vec{v} = 0$.}
Koska differentiaaliyht�l�n ratkaisuk�yr� kulkee pinnalla $f=0$, 
sen tangenttivektori sijaitsee t�ss� tasossa.

Suihkuavaruuden rakenteesta ei viel� k�y ilmi, ett� 
$y_1$:n pit�� olla ratkaisuk�yr�ll� $y$:n derivaatta: $y_1 = \tfrac{dy}{dx}$. 
T�m� ehto voidaan kirjoittaa \emph{kontaktimuodon} \label{def:kontaktimuoto1}
\begin{equation}
  \label{alfa1}
  \alpha_1 = dy - y_1 dx \in \TtJ
\end{equation}
avulla $\alpha_1(v)=0$, mik� sekin m��r�� 1-kodimensioisen aliavaruuden 
eli tason $\TpJ$:ss�.\footnote
{Huomattakoon, ett� yht�l� $\alpha_1 = dy - y_1 dx = 0$ saadaan
formaalisti kertomalla yht�l� $y_1 = \tfrac{dy}{dx}$\, $dx$:ll�.}
Ratkaisuk�yr�n tangenttivektori sijaitsee my�s t�ss� tasossa.

Yht�l�t
\begin{equation}
  \label{dfalfa1von0}
  df(v) = \alpha_1(v) = 0
\end{equation}
m��r��v�t siis pisteess� $p$ aliavaruuden,
%\begin{equation}
%  \label{Dp}
%  \D_p = \left\{ v \in \TpJ \,|\, df(v) = \alpha_1(v) = 0 \right\},
%\end{equation} 
joka m��r�� ratkaisuk�yr�n tangenttivektorin suunnan 
yksik�sitteisesti, jos sen dimensio on 1 eli jos tasot leikkaavat toisensa.
N�iden aliavaruuksien muodostamaa kimppua 
%eli niiden pistevierasta yhdistett� 
%\begin{equation}
%  \label{D}
%  \D = \bigsqcup_{p \in \J} \D_p
%  \cong \bigcup_{p \in \J} \left( p, \D_p \right)
%\end{equation}
kutsutaan systeemin \emph{distribuutioksi} \label{def:distribuutio}
ja ratkaisuk�yr�� distribuution \emph{integraalimonistoksi}.
\label{def:integraalimonisto}

Jos merkit��n tangenttivektoria normaalikannassa
\begin{equation}
  \label{vJ}
  v = v_1 \,\dodo{}{x} + v_2 \,\dodo{}{y} + v_3 \,\dodo{}{y_1}  
  \vastaa \matriisi{c}{v_1 \\ v_2 \\ v_3 } = \vv,
\end{equation}
yht�l�t (\ref{dfalfa1von0}) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa
\begin{equation}
  \label{Adxyy1on0}
  \A \vv = 0,
\end{equation}
miss�
\begin{equation}
  \label{A}
  \A= \matriisi{ccc}{\dodo{f}{x} & \dodo{f}{y} & \dodo{f}{y_1}\\ -y_1 & 1 & 0}.
\end{equation}
Distribuutio vastaa siis kussakin pisteess� matriisin $\A$ nolla-avaruutta
$\mathcal{N}(\A) = \{ \vv \,|\, \A \vv = 0 \}$. 

Jos nyt matriisin $\A$ rangi on 2 eli $\dim \mathcal{N}(\A)=1$,
ratkaisuk�yr�� voidaan l�hte� seuraamaan etenem�ll� lyhyt askel 
distribuution suuntaan ja projisoimalla 
n�in saatu piste takaisin monistolle.



\subsection{Ongelmia}
\label{ongelmia}

Jos kuitenkin $\dim \mathcal{N}(\A) > 1$, distribuutio ei m��r��
ratkaisuk�yr�n suuntaa, eik� ratkaisuk�yr�� voida laskea t�ll� menetelm�ll�. 
Tilanne on t�llainen esimerkiksi pinnan (\ref{fon0}) leikkaussuoralla.


\subsubsection{Tapaus 1}

Koska tapauksessa 1 singulariteetissa $x = y = 0$ matriisin
\begin{equation}
  \label{tapaus1A}
  \A = \left.\matriisi{ccc}{-y_1 & 1 & 0 \\ 2x & -2yy_1 & -y^2} \right|_{x=y=0}
    = \matriisi{rcc}{-y_1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
\end{equation}
toinen vaakarivi on nollarivi, on distribuution dimensio
$\dim \mathcal{N}(\A)=2$, joten singulariteetissa ratkaisuk�yr�n
seuraaminen on mahdotonta.

Jos klassiseen ratkaisuun $y=(x^3+C)^{1/3}$ sijoitetaan
singulariteetti $x = y = 0$, saadaan ehto $C = 0$. 
Singulariteetin kautta kulkee siis ainoastaan ratkaisu $y = x$.


\subsubsection{Tapaukset 2 ja 5}

Tapauksessa 2 singulaariset ratkaisut ovat sellaisia, joissa $x=y_1=0$.
Klassisen ratkaisun ensimm�inen derivaatta on
\begin{equation}
  \label{tapaus2y1}
  y_1 = x\left(\tfrac{3}{4}\, x^2+C\right)^{-1/3},
\end{equation}
joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta.
Nyt on edellisen lis�ksi se ongelma, ett�
``korkeudella'' $y$ kulkee nyt kaksi ratkaisua, jotka vastaavat $C$:n arvoja
\begin{equation}
  \label{tapaus2cynavulla}
  C=\pm\sqrt{y^3}.
\end{equation}

Singulariteetissa
\begin{equation}
  \label{tapaus2A}
  \A = \left. \matriisi{ccc}{-y_1 & 1 & 0 \\ 2x & -y_1^2 & -2yy_1}
       \right|_{x = y_1 = 0}
     = \matriisi{rcc}{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0},
\end{equation}
joten taas $\dim \mathcal{N}(\A)=2$.

Tapauksessa 5 tilanne on samanlainen: 
Ensimm�inen derivaatta on 
\begin{equation}
  \label{tapaus5y1}
  y_1 = x \left( C \pm \tfrac{x^2}{4} \right) = 0,
\end{equation}
kun $x = 0$, joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta.
``Korkeudella'' $y$ kulkee taas kaksi ratkaisua, 
jotka vastaavat $C$:n arvoja $C=\pm\sqrt{y}$. 
Distribuution dimensio on j�lleen 2, koska
\begin{equation}
  \label{tapaus5A}
 \A = \left. \matriisi{ccc}{-y_1 & 1 & 0 \\ -2xy & -x^2 & 2y_1} 
                                                    \right|_{x = y_1 = 0}
    = \matriisi{rcc}{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}.
\end{equation}




\subsubsection{Tapaus 3}

Nyt ratkaisut $y=\frac{x}{1+Cx}$
kulkevat kaikki singulariteetin $x = y = 0$ kautta. Lis�ksi
\begin{equation}
  \label{tapaus3y1kl}
  y_1=\frac{1}{(1+Cx)^2}=1,
\end{equation}
kun $x=0$, joten kaikki ratkaisuk�yr�t kulkevat lis�ksi ``korkeudella''
$y_1=1$. Saman pisteen kautta ei siis kulje nyt ainoastaan kaksi ratkaisua,
vaan ��ret�n m��r� ratkaisuja. 
Ratkaisuk�yr�� ei voida seurata singulariteetissa, koska
\begin{equation}
  \label{tapaus3A}
 \A = \left. \matriisi{ccc}{-y_1 & 1 & 0 \\ -2xy_1 & 2y & -x^2} 
                                                         \right|_{x = y = 0}
    = \matriisi{rcc}{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0},
\end{equation}
ja siis $\dim \mathcal{N}(\A)=2$.



\subsubsection{Tapaukset 4 ja 6}

Tapauksissa 4 ja 6 singulariteetti ei aiheuta ongelmia.
Yht�l�lle saadaan $C$:n eri arvoilla erilaisia eksponenttimuotoisia
ratkaisuja, jotka on m��ritelty $x$:n positiivisilla arvoilla. 
Niist� mitk��n eiv�t kulje singulariteetin $y=y_1=0$ kautta.

Lis�ksi $C$:n arvolla 0 saadaan triviaaliratkaisu $y=0$, joka vastaa
``sateenvarjon kahvaa''.

Tapauksessa 4 ratkaisuk�yr� m��r�ytyy matriisin
\begin{equation}
  \label{tapaus4A}
 \A = \matriisi{ccc}{-y_1 & 1 & 0 \\ -y_1^2 & 2y & -2xy_1}
\end{equation}
nolla-avaruudesta. Muualla kuin triviaaliratkaisulla $x, y_1 \ne 0$,
joten ainoastaan triviaaliratkaisulla $\dim \mathcal{N}(\A) > 1$.
My�s tapauksessa 6 matriisin
\begin{equation}
  \label{tapaus6A}
 \A = \matriisi{ccc}{-y_1 & 1 & 0 \\ -y^2 & -2xy & 2y_1^2}
\end{equation}
nolla-avaruus on yksiulotteinen, kun $y_1 \ne 0$.



\section{Systeemin jatkaminen ja prim��ridekompositio}

\subsection{Jatkaminen}

Systeemin \emph{jatkamisella} \label{def:jatkaminen} 
tarkoitetaan alkuper�isen differentiaaliyht�l�n
\begin{equation}
  \label{fon0toisto}
  f(x,y,y_1) = 0
\end{equation}
derivoimista $x$:n suhteen, jolloin saadaan uusi yht�l�
\begin{equation}
  \label{gon0}
  g(x,y,y_1,y_2) = 0.
\end{equation}
Se saa tapauksissa 1---6 seuraavat muodot:
\begin{eqnarray}
  \label{tap1jatko}
  2x - y^2y_2 - 2yy_1^2 = 0\\[1ex]
  2x - 2yy_1y_2 - y_1^3 = 0\\[1ex]
  2(y-x)y_1 - x^2y_2 = 0\\[1ex]
  2y y_1 - 2xy_1y_2 - y_1^2 = 0 \\[1ex]
  2y_1y_2 - x^2y_1 - 2xy = 0 \\[1ex]
  2y_1y_2 - 2xyy_1 - y^2 = 0
\end{eqnarray}

Yht�l�t (\ref{fon0}) ja (\ref{gon0}) m��rittelev�t neliulotteisessa 
avaruudessa $\JJ$ kaksiulotteisen pinnan, jolla ratkaisut kulkevat.
Sen tangentin m��r��v�t nyt kaksi yht�l��. 
Entinen yht�l� $df(v) = 0$ muuntuu muotoon 
\begin{equation}
  \label{pdfvon0}
  (\pi^* df)(v) = df(d\pi(v)) = 0,
\end{equation}
miss� $\pi: \JJ \owns (x,y,y_1,y_2) \mapsto (x,y,y_1) \in \J$ 
on kanoninen projektio. 
Sen lis�ksi jatkon differentiaalille
\begin{equation}
  \label{dg}
  dg = \dodo{g}{x}\, dx + \dodo{g}{y}\, dy + \dodo{g}{y_1}\, dy_1 
       + \dodo{g}{y_2}\, dy_2 \in \TtJJ
\end{equation}
saadaan
\begin{equation}
  \label{dgvon0}
  dg(v) = 0.
\end{equation}
Kontaktimuotojakin on nyt kaksi. Entisest� kontaktimuodosta
$\alpha_1 \in \TtJ$ saadaan kanonisella projektiolla 
1-muoto $\pi^* \alpha_1 \in \TtJJ$.
Yht�l�n
\begin{equation}
  \label{palfa1von0}
  (\pi^* \alpha_1)(v) = \alpha_1(d\pi(v)) = 0
\end{equation}
lis�ksi on $y_2$:n derivaattaominaisuuden $y_2=\tfrac{d^2y}{dx^2}$ 
m��rittelev� yht�l�
\begin{equation}
  \label{alfa2von0}
  \alpha_2(v) = 0,
\end{equation}
miss� 
\begin{equation}
  \label{alfa2}
  \alpha_2 = dy_1-y_2\,dx \in \TtJJ
\end{equation}
on toinen kontaktimuoto. \label{def:kontaktimuoto2}
Yht�l�t (\ref{pdfvon0}), (\ref{dgvon0}), (\ref{palfa1von0})
ja (\ref{alfa2von0}) ovat nyt matriisimuodossa
\begin{equation}
  \label{Bdfyy1y2on0}
  \B \vv = 0,
\end{equation}
miss�
\begin{equation}
  \label{B}
 \B = \matriisi{cccc}
      {\dodo{f}{x}&\dodo{f}{y}&\dodo{f}{y_1}&0\\
       \dodo{g}{x}&\dodo{g}{y}&\dodo{g}{y_1}&\dodo{g}{y_2}\\
       -y_1&1&0&0\\
       -y_2&0&1&0\\}
\end{equation}
ja
\begin{equation}
  \label{vJJ}
  \vv = \matriisi{c}{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v4} \vastaa 
  v_1 \,\dodo{}{x} + v_2 \,\dodo{}{y} + v_3\,\dodo{}{y_1} + v_4\,\dodo{}{y_2}
      = v \in \TJJ.
\end{equation}
Koska n�m� yht�l�t ovat differentiaaliyht�l�st� konsistentisti
jatkettuja yht�l�it�, matriisia $\B$ vastaavan lineaarikuvauksen ydin
on v�hint��n yksiulotteinen.
%
% Saisiko t�h�n viittauksen johonkin kirjaan?
%
Jos $\dim\mathcal{N}(\B)=1$,
differentiaali\-yht�l�n ratkaisuja voidaan laskea edell�
esitetyll� menetelm�ll�.

Yht�l�n $f = 0$ m��r��m� pinta $\J$:ss� ei ole monisto,
vaan se leikkaa itsens�, joten ratkaisuk�yr�n seuraaminen on mahdotonta
leikkausk�yr�n pisteiss�; 
lis�ksi l�hell� singulariteettia se voi olla numeerisesti vaikeaa. 
Jatketun systeemin kohdalla tilanne voi olla samanlainen, jolloin
ratkaisuk�yr�n laskeminen ei onnistu pinnan leikkauspisteiss�.



\subsection{Prim��ridekompositio}

Yht�l�iden $f = 0,\; g = 0$ m��r��m�� pintaa voidaan tarkastella
polynomien $f$ ja $g$ viritt�m�n ideaalin \cite{nicholson}
\begin{equation}
  \label{Ifg}
  \II_{fg} = (f,g) = \left\{pf+qg\,|\,\mbox{$p$ ja $q$ muuttujien 
                            $x$, $y$, $y_1$ ja $y_2$ polynomeja}\right\}
\end{equation}
\emph{affiinina varieteettina} \cite{clos} \label{def:varieteetti}
\begin{equation}
  \label{VIfg}
  V(\II_{fg})=\left\{(x,y,y_1,y_2) \in \JJ \,|\, 
                 p(x,y,y_1,y_2) = 0\; \forall p \in \II_{fg}\right\}.
\end{equation}

%Ideaali $\II$ on \emph{redusiibeli}, jos voidaan kirjoittaa
%$\II = \II' \cap \II''$ ja $\II', \II'' \neq \II$. Muutoin $\II$ on
%\emph{irredusiibeli}. 
%
Ideaalia $\II$ sanotaan \emph{prim��ri-ideaaliksi}, jos aina kun 
$ab \in \II$ ja $a \not\in \II$, niin $b^p \in \II$ 
jollakin $p \in \mathbb{N}$.
\emph{Prim��ridekompositioksi} kutsutaan renkaan $R$ ideaalin $\II$ hajotelmaa
\label{def:primaaridekompositio}
\begin{equation}
  \label{primaaridekompositio}
  \II = \bigcap\limits_{k=1}^r \II_k,
\end{equation}
miss� prim��ri-ideaalit $\II_k \in R$ toteuttavat seuraavat ehdot:
\begin{enumerate}
\item Mik��n $\II_k$ ei sis�ll� muiden ideaalien leikkausta
$\II_1 \cap \cdots \cap \II_{k-1} \cap \II_{k+1} \cap \cdots \cap \II_r$.
\item $\II_k \neq \II_l$, kun $k \neq l$.
\end{enumerate}
Prim��ridekompositio on hy�dyllinen konstruktio, jos rengas $R$ on 
\emph{Noetherin rengas} eli kun jokaisella $R$:n ideaalilla on ��rellinen
m��r� viritt�ji�:\label{def:noetherinrengas}
\begin{lause}
  Noetherin renkaan aidolla ideaalilla on yksik�sitteinen prim��ridekompositio.
\end{lause}
\begin{tod}
  l�ytyy l�hteest� \cite{becker}.
\end{tod}

Koska tarkasteltavat ideaalit ovat ��rellisesti viritettyj�, 
ideaalille $\II_{fg}$ voidaan siis muodostaa prim��ri\-dekompositio
\begin{equation}
  \label{Ifgprimarydecomp}
  \II_{fg} = \bigcap\limits_{k=1}^r \II_k.
\end{equation}
J�tt�m�ll� leikkauksen ideaaleista osa pois saadaan laajempi ideaali
\begin{equation}
  \label{Ifgprimarydecomposa}
  \II_{fg}^\circ = \bigcap\limits_{k\in K\subset\{1,2,\ldots,r\}} \II_k.
\end{equation}
Sen varieteetti on vastaavasti pienempi, koska varieteetin pisteille asetetaan
enemm�n rajoituksia. Sopivalla valinnalla voidaan saada se varieteetti,
jolla differentiaaliyht�l�n ratkaisuna mielek�s k�yr� kulkee.

Koska kiinnostuksen kohteena on l�hinn� ideaalin varieteetti,
voidaan alkuideaalien sijaan tarkastella niiden \emph{radikaali-ideaaleja}
$r(\II_k)=\left\{p\,|\,p^n\in\II\textrm{ jollakin }n\in\mathbb{N}\right\}$, 
sill�

\begin{lause}
  \label{VrIonVI}
  Jos $r(\II)$ on ideaalin $\II$ radikaali-ideaali, niin
  varieteetit $V(\II)$ ja $V(r(\II))$ ovat samat.
\end{lause}
\begin{tod}
  Koska selv�sti $\II \subset r(\II)$, niin $V(r(\II)) \subset V(\II)$,
  joten riitt�� osoittaa, ett� $V(\II) \subset V(r(\II))$.
  Olkoon $x \in V(\II)$ mielivaltainen, jolloin siis $p(x)=0$ kaikille 
  $p \in V(\II)$. Olkoon $q \in r(\II)$ mielivaltainen. T�ll�in
  $q^n \in \II$ jollakin $n \in \mathbb{N}$, 
  joten $(q(x))^n = 0$ ja siis my�s $q(x)=0$. Siten $x \in V(r(\II))$.
\end{tod}

Prim��ridekompositio ja radikaali-ideaalit on laskettu 
Axiom-ohjelmiston \cite{axiom} avulla.
K�ytetyt komentojonot on esitetty liitteess� 1.


\section{Jatkettujen systeemien ratkaiseminen}

\subsection{Tapaus 2}

Tapauksessa 2 jatko on
\begin{equation}
  \label{tapaus2jatko}
  g(x,y,y_1,y_2) = 2x - 2 y y_1 y_2 - y_1^3 = 0.
\end{equation}
T�ll�in singulariteetissa 
\begin{equation}
  \label{tapaus2B}
 \B = \left. \matriisi{cccc}
        {2x & -y_1^2 & -2 y y_1 & 0 \\ 
         2 & -2y_1 y_2 & -2y y_2 - 3y_1^2 & -2y y_1 \\
         -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0} \right|_{x = y_1 = 0}
    = \matriisi{cccc}
        {0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2y y_2 & 0 \\ 
         0 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0},
\end{equation}
joten $\dimnb = 2$, t�sm�lleen silloin kuin $y y_2^2 = 1$, jolloin $\B$:n
vasemman alakulman $3 \times 3$ "=alimatriisin determinantti on nolla.
%\footnote{Silloinkin, kun $\dimnb = 1$, distribuutio on $y_2$-akselin
%suuntainen, joten sit� pitkin edett�ess� pysyt��n edelleen 
%singulariteetissa $x=y_1=0$.}
Kuten yht�l�ist� $f=g=0$ k�y ilmi,
ratkaisuk�yrill� nimenomaan p�tee singulariteetissa $y y_2^2 = 1$,
joten $\mathcal{N}(\B)$ ei m��r�� ratkaisuk�yr�n suuntaa singulariteetissa.

Ratkaisun seuraaminen onnistuu kuitenkin hy�dynnett�ess� prim��ridekompositiota
\begin{equation}
  \label{tapaus2primarydecomp}
  \II_{fg} = \II_1 \cap \II_2 \cap \II_3,
\end{equation}
miss�
\begin{equation}\begin{split}
  \label{tapaus2I}
  \II_1 &= (y_2^2 y_1^2,\; y_2 y_1 y-x,\; y_2 y_1 x,\; x^2) \\
  \II_2 &= (2y_2 y_1 y+y_1^3-2x,\; y_1^2 y,\; y_2 y_1 y^2-y x,\;
            y_1 y x,\; y^2,\; y^2 x,\; x^2) \\
  \II_3 &= (y_2^2 y^2-\tfrac{1}{4}y_1^4+y_1 x-y,\;
            y_2 y_1 y+\tfrac12y_1^3-x,\;  \\
   &\qquad  y_2 y x+\tfrac12y_1^2 x-y_1 y,\; 
            y_2 x^2+\tfrac12 y_1^4-y_1 x,\;
            y_1^2 y-x^2 ).
\end{split}\end{equation}
Niit� vastaavat radikaali-ideaalit ovat
\begin{equation}\begin{split}
  \label{tapaus2rI}
  r(\II_1) &= (y_2 y_1,\; x) \\
  r(\II_2) &= (y_1,\; y,\; x) \\
  r(\II_3) &= (y_2^2 y^2-\tfrac{1}{4}y_1^4+y_1 x-y,\;
               y_2 y_1 y+\tfrac12y_1^3-x,\;  \\
      &\qquad  y_2 y x+\tfrac12y_1^2 x-y_1 y,\; 
               y_2 x^2+\tfrac12 y_1^4-y_1 x,\;
               y_1^2 y-x^2 ).
\end{split}\end{equation}
Huomattakoon, ett� ideaalin $\II_{fg}$ radikaali-ideaali on
\begin{equation}
  \label{rIfg}
  r(\II_{fg}) = \left(y_2 y_1 y+\tfrac12y_1^3-x,\; 
                y_2 y x+\tfrac12y_1^2 x-y_1 y,\; 
                y_2 x^2+\tfrac12 y_1^4-y_1 x,\;
                y_1^2 y-x^2 \right),
\end{equation}
ja $r(\II_3)$:n viritt�j�t saadaan lis��m�ll� t�m�n viritt�jiin polynomi
$y_2^2 y^2-\tfrac{1}{4}y_1^4+y_1 x-y$, ja ett� t�ss�, kuten muillakin
permutaatioilla, viimeisess� ideaalissa esiintyy alkuper�inen yht�l�
$f = 0$.

J�tet��n huomiotta ``mielenkiinnottomat'' ideaalit $\II_1$ ja $\II_2$, joiden
varieteetit ovat systeemin singulariteetti ja origo. 
Valitaan siis $\II_{fg}^\circ = \II_3$. 

Merkit��n $r(\II_3)$:n viritt�ji� yht�l�ss� (\ref{tapaus2rI}) esitetyss�
j�rjestyksess� $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ ja $f_5$. 
Asettamalla $f_1 = f_2 = 0$ saadaan ratkaistua
\begin{equation}
  \label{tapaus2xy1ratk}
    x = y y_1 y_2 + \tfrac{1}{2}y_1^3, \qquad \quad
  y_2 = \frac{-y_1^2 \pm 2\sqrt{y}}{2y}.
\end{equation}
Neli�juuren merkin eri valinnoilla saatavat pinnat eiv�t leikkaa toisiaan,
sill� kun $\sqrt{y} \to 0$, $y_2 \to \infty$.
Kun n�m� $x$:n ja $y_2$:n lausekkeet sijoitetaan yht�l�ihin
$f_3=0$, $f_4=0$ ja $f_5=0$, ne toteutuvat identtisesti.
T�ten $\II_3$:n informaatio sis�ltyy jo polynomeihin $f_1$ ja $f_2$ 
siin� mieless�, ett�
\begin{equation}
  \label{VrI3}
  V(\II_3) = V(r(\II_3)) = V((f_1,\, f_2)).
\end{equation}

T�m� on numeeristen laskujen kannalta mukavaa, koska distribuutio
voidaan nyt laskea neli�matriisin
\begin{equation}
  \label{B0maar}
 \B^\circ = \matriisi{cccc}
      {\dodo{f_1}{x} & \dodo{f_1}{y} & \dodo{f_1}{y_1} & \dodo{f_1}{y_2} \\
       \dodo{f_2}{x} & \dodo{f_2}{y} & \dodo{f_2}{y_1} & \dodo{f_2}{y_2} \\
       -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0}
    = \matriisi{cccc}{ y_1 & 2y y_2^2 - 1 & x-y_1^3 & 2y^2 y_2 \\
                       -1 & y_1 y_2 & \tfrac{3}{2} y_1^2 + y y_2 & y y_1 \\
       -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0}
\end{equation}
nolla-avaruudesta.

Lausekkeista (\ref{tapaus2xy1ratk}) n�hd��n, ett� $y_2$-akseli ei leikkaa
pintaa $V(\II_3)$. T�m� sopii yhteen klassisen ratkaisun 
\begin{equation}
  \label{tapaus2ykl}
  y = (\tfrac{3}{4}x^2 + C)^{2/3}
\end{equation}
kanssa sik�li, ett� ainoa yht�l�t $x = y = y_1 = 0$ toteuttava ratkaisu
saadaan $C$:n arvolla 0, jonka toinen derivaatta
\begin{equation}
  \label{tapaus2y2Con0}
  \tfrac{d^2}{dx^2} \left( \tfrac{3}{4}x^2 + C \right)^{\tfrac{2}{3}} 
     = \left( \tfrac{2}{3} \right)^{2/3} x^{-2/3}
\end{equation}
l�hestyy ��ret�nt�, kun $x \to 0$.

\poistovedoksesta{
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \epsfig{file=tap2kuva.eps, width=8cm}
    \caption{Ratkaisuja tapauksessa 2}
    \label{fig:tap2kuva}
  \end{center}
\end{figure}
}

Kuvassa \ref{fig:tap2kuva} on piirrettyn� kolme tapauksen 2
ratkaisuk�yr��, joiden alkupisteet ja niit� vastaavat
klassisen ratkaisun parametrin $C$ arvot ovat:
\begin{itemize}
\item
    $(x, y, y_1, y_2) = \left( -2, 4, 1, -\tfrac{5}{8} \right) $,\,
    $C = -11$
\item
    $(x, y, y_1, y_2) = \left( -2, \sqrt[3]{196}, 
                      -\sqrt[3]{\tfrac{4}{7}}, 
                       \sqrt[3]{\tfrac{108}{2401}} \right) $,\,
    $C = 11$
\item
    $(x, y, y_1, y_2) = \left( -1, 1, 1, -\tfrac{3}{2} \right) $,\,
    $C = -\tfrac{7}{4}$.
\end{itemize}
N�ist� kaksi ensimm�ist� leikkaa toisensa singulariteetissa
korkeudella $\sqrt[3]{121}$.
Kolmas l�p�isee singulariteetin korkeudella $\sqrt[3]{\tfrac{49}{16}}$.
Laskut on tehty Mathematica-ohjelmistolla k�ytt�en
l�hteess� \cite{teijo} esitelty� ohjelmaa.

\poistovedoksesta{
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \epsfig{file=tap2vertailu.eps, width=8cm}
    \caption{Tarkka (ohut viiva) ja numeerisesti laskettu ratkaisu 
             (paksu viiva) tapauksessa 2}
    \label{fig:tap2vertailu}
  \end{center}
\end{figure}
}

Kuvassa \ref{fig:tap2vertailu} on piirretty $xy$-tasoon
pisteest� $(x,y) = (-1,\,1)$ l�htien numeerisesti laskettu ratkaisu
(100 askelta, toleranssi 0,001) sek� tarkka ratkaisu
\begin{equation}
  \label{tap2vertailuykl}
  y = \left( \tfrac{3}{4}x^2 - \tfrac{7}{4} \right)^{2/3}.
\end{equation}






\subsection{Tapaus 3}

Tapauksen 3 kaikki klassiset ratkaisut 
\begin{equation}
  \label{tapaus3ykl}
  y = \frac{x}{1+Cx}
\end{equation}
kulkevat $\J$:ss� pisteen $(x,y,y_1) = (0,0,1)$ kautta, mink� takia 
ratkaisuk�yr�n suunnan laskeminen tuossa pisteess� ei voi onnistua. 
Systeemin jatkaminen auttaa, sill� toinen derivaatta
\begin{equation}
  \label{tapaus3y2klsingulariteetissa}
  y_2 = \left. \frac{-2C}{(1+Cx)^3} \right|_{x = 0} = -2C
\end{equation}
riippuu parametrin $C$ arvosta. Jatketun systeemin distribuutio on 
singulariteetissa silti kaksiulotteinen, sill�
\begin{equation}
  \label{tapaus3B}
 \B = \left. \matriisi{cccc}{2x y_1 & -2y & x^2 & 0 \\
       2y_1 + 2 x y_2 & -2y_1 & 2 (x-y) & x^2 \\
       -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0} \right|_{x=y=0} =
  \matriisi{cccc}{0 & 0 & 0 & 0 \\ 2y_1 & -2 y_1 & 0 & 0 \\
       -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0},
\end{equation}
jonka $3 \times 3$ "=alimatriisin determinantti $2y_1 - 2y_1^2 = 0$,
onhan $y_1 = 1$ kaikilla ratkaisuilla.

Eteenp�in p��st��n k�ytt�m�ll� prim��ridekompositiota
\begin{equation}
  \label{tapaus3primarydecomp}
  \II_{fg} = \II_1 \cap \II_2 \cap \II_3 \cap \II_4,
\end{equation}
miss�
\begin{equation}\begin{split}
  \label{tapaus3I}
  \II_1 &= (y - x,\; x^2) \\
  \II_2 &= (y_1^2-2y_2+1,\;
            -y_2x^2+y_1x^2-x^2,\; 
            \tfrac12 y_2^2x^2-\tfrac12 y_2x^2+y-x,\;
            x^4) \\
  \II_3 &= (y_1^8,\;
            -\tfrac12 x^2+y_1 y-y_1 x,\; \\
   &\qquad  -\tfrac12 y_2^2 y x^3+\tfrac12 y_2 y x^2+\tfrac12 y_2x^3+y_1 x^2,\;
            -\tfrac12 y_2^2 y x^3+\tfrac12 y_2 y x^2+\tfrac12 y_2 x^3+y^2,\;
            x^4) \\
  \II_4 &= (y_2 y+y_2 x-2y_1^2+2y_1,\;
            y_2 x^2-2y_1 y+2y_1 x,\; y_1 x^2-y^2).
\end{split}\end{equation}
Niit� vastaavat radikaali-ideaalit ovat
\begin{equation}\begin{split}
  \label{tapaus3rI}
  r(\II_1) &= (y,\; x) \\
  r(\II_2) &= (y_1-1,\; y,\; x) \\
  r(\II_3) &= (y_1,\; y,\; x) \\
  r(\II_4) &= (y_2 y+y_2 x-2y_1^2+2y_1,\;
            y_2 x^2-2y_1 y+2y_1 x,\; y_1 x^2-y^2).
\end{split}\end{equation}

N�ist� hyl�t��n taas ``mielenkiinnottomina'' muut kuin $\II_4$,
jonka viritt�ji� merkit��n yht�l�ss� (\ref{tapaus3rI}) esitetyss�
j�rjestyksess� $f_1$, $f_2$ ja $f_3$. 
Ehto $y_1 = 1$ singulariteetissa saadaan t�ll�in
sijoittamalla $f_1$:n lausekkeeseen $x = y = 0$, jolloin saadaan
\begin{equation}
  \label{tapaus3y1on0tai1}
  2 y_1 (1 - y_1) = 0 \qquad \ekv \qquad y_1 = 0 \vee y_1 = 1
\end{equation}
ja huomaamalla, ett� jos $y_1 = 0$, saadaan 
pelk�st��n triviaaliratkaisu $y \equiv 0$.

Varieteetti $V(\II_4)$ saadaan nyt k�ytt�m�ll�
pelk�st��n yht�l�it� $f_1 = 0$ ja $f_2 = 0$: 
Jos $y_2 \neq 0$, niist� voidaan ratkaista
\begin{equation}
  \label{tapaus3xyratk}
  x = \frac{2 y_1 (-1 \pm \sqrt{y_1})}{y_2} \qquad \quad
  y = \frac{2 y_1^{3/2} (\sqrt{y_1} \mp 1)}{y_2},
\end{equation}
ja sijoitettaessa n�m� yht�l� $f_3 = 0$ toteutuu identtisesti.
Lausekkeissa esiintyv�t $\pm$- ja $\mp$-merkit eiv�t nytk��n ole osoitus siit�,
ett� pinta $V(\II_3)$ leikkaisi itsens�, 
sill� koska $y_1 = 1 \neq 0$, haarat eiv�t yhdy miss��n.

Jos taas $y_2 = \tfrac{d^2y}{dx^2} = -2 C = 0$, voidaan ratkaista suoraan
\begin{eqnarray}
  \label{tapaus3Con0ratk}
  f_1 = 0 & \ekv & (y_1 = 0 \; \vee\, ) \; y_1 = 1 \\
  f_2 = 0 & \ekv & x = y,
\end{eqnarray}
mitk� toteuttavat identtisesti yht�l�n $f_3 = 0$.
Ratkaisun tangentti voidaan siis laskea singulariteetissa neli�matriisin
\begin{equation}
  \label{tapaus3B0}
 \B^\circ = \left. \matriisi{cccc} 
      {y_2 & y_2 & 2-4y_1 & x + y \\ 2x y_2 & -2y_1 & 2(x-y) & x^2 \\
         -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0} \right|_{x=y=0}
    = \matriisi{cccc}
      {y_2 & y_2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\
         -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0}
\end{equation}
nolla-avaruudesta, sill� $\B^\circ$:n vasemman alakulman 
$3 \times 3$ "=osamatriisin determinantti
on $-2y_1 = -2 \neq 0$, sill� ratkaisuk�yr�ll� $y_1 = 1$.

\poistovedoksesta{
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \epsfig{file=tap3kuva.eps, width=8cm}
    \caption{Ratkaisuja tapauksessa 3}
    \label{fig:tap3kuva}
  \end{center}
\end{figure}
}

Kuvassa \ref{fig:tap3kuva} n�kyy kolme ratkaisuk�yr��, 
jotka leikkaavat toisensa pisteess� $(x,y,y_1) = (0,0,1)$. 
Niiden alkupisteet ja vastaavat klassisen ratkaisun (\ref{tapaus3ykl}) 
parametrin $C$ arvot ovat:
\begin{itemize}
\item $ (x, y, y_1, y_2) = (-\tfrac{1}{5}, -\tfrac{1}{5}, 1, 0)$,\,
      $ C = 0 $
\item $ (x, y, y_1, y_2) = (-\tfrac{1}{5}, -\tfrac{1}{4}, 
                            \tfrac{25}{16}, \tfrac{125}{32})$,\,
      $ C = 1 $
\item $ (x, y, y_1, y_2) = (-\tfrac{1}{5}, -\tfrac{1}{3}, 
                            \tfrac{8}{3}, -\tfrac{37037}{2000})$,\,
      $ C = 2 $.
\end{itemize}
Ratkaisuk�yr�t on laskettu ja piirretty nytkin \cite{teijo}-l�hteen
ohjelman avulla.


\subsection{Tapaus 5}

Tapauksessa 5 matriisin
\begin{equation}
  \label{tapaus5B}
 \B = \left. \matriisi{cccc}
        {2xy & x^2 & -2y_1 & 0 \\ 2x y_1 + 2y & 2x & x^2 - 2y_2 & -2y_1 \\
         -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0} \right|_{x = y_1 = 0}
    = \matriisi{cccc}
        {0 & 0 & 0 & 0 \\ 2y & 0 & -2y_2 & 0 \\ 
         0 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0}
\end{equation}
nolla-avarus on singulariteetissa kaksiulotteinen, sill�
samoin kuin tapauksessa 2 n�hd��n yht�l�ist� $f = g = 0$, ett� $y = y_2^2$.

Prim��ridekompositioksi saadaan nyt
\begin{equation}
  \label{tapaus5primarydecomp}
  \II_{fg} = \II_1 \cap \II_2 \cap \II_3 \cap \II_4,
\end{equation}
miss�
\begin{equation}\begin{split}
  \label{tapaus5I}
  \II_1 &= (
{{y_2  y_1} -{y  x}}, \: {y_1 \sp 2}, \: {y_1  x}, \: {x \sp 2} 
  ) \\
  \II_2 &= (
y_1, \: y 
  ) \\
  \II_3 &= (
{y_2 -{{\tfrac{1}{2}}  {x \sp 2}}}, \: {y_1 \sp 2}, \: y 
   ) \\
  \II_4 &= (
{{y_2 \sp 2} -{y_1 x} -y -{{\tfrac{1}{4}} {x \sp 4}}}, \:
{{y_2 y_1} -{{\tfrac{1}{2}} y_1 {x \sp 2}} -{y x}}, \: {{y_2 x} -y_1
-{{\tfrac{1}{2}} {x \sp 3}}}, \: {{y_1 \sp 2} -{y {x \sp 2}}} 
   ).
\end{split}\end{equation}
Niit� vastaavat radikaali-ideaalit ovat
\begin{equation}\begin{split}
  \label{tapaus5rI}
  r(\II_1) &= (y_1, \: x ) \\
  r(\II_2) &= (y_1, \: y ) \\
  r(\II_3) &= ({y_2 -{{\tfrac{1}{2}}  {x \sp 2}}}, \: y_1, \: y ) \\
  r(\II_4) &= (
{{y_2 \sp 2} -{y_1 x} -y -{{\tfrac{1}{4}} {x \sp 4}}}, \:
{{y_2 y_1} -{{\tfrac{1}{2}} y_1 {x \sp 2}} -{y x}}, \: {{y_2 x} -y_1
-{{\tfrac{1}{2}} {x \sp 3}}}, \: {{y_1 \sp 2} -{y {x \sp 2}}} 
).
\end{split}\end{equation}

J�tet��n j�lleen huomiotta muut kuin $\II_4 = \II_{fg}^\circ$
ja merkit��n sen viritt�ji� yht�l�ss� (\ref{tapaus5rI}) esiintyv�ss�
j�rjestyksess� $f_1$, $f_2$, $f_3$ ja $f_4$. Yht�l�ist� $f_1 = f_3 = 0$
voidaan nyt ratkaista suoraan
\begin{equation}
  \label{tapaus5yy2ratk}
   y  = y_2^2 - y_2 x^2 + \tfrac{1}{4} x^4, \qquad \quad
  y_1 = y_2 x - \tfrac{1}{2} x^3,
\end{equation}
jotka toteuttavat yht�l�t $f_2 = f_4 = 0$.

Ratkaisuk�yr�n tangentti m��r�ytyy singulariteetissa siis neli�matriisin
\begin{equation}
  \label{tapaus5B0}
 \B^\circ = \left. \matriisi{cccc} 
       {-x^3 - y1 & -1 & -x & 2 y_2 \\ -\tfrac{3}{2}x^2 + y_2 & 0 & -1 & x \\
         -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0} \right|_{x=y_1=0}
    = \matriisi{cccc}
       {0 & -1 & 0 & 2 y_2 \\ y_2 & 0 & - & 0 \\
         -y_1 & 1 & 0 & 0 \\ -y_2 & 0 & 1 & 0}
\end{equation}
nolla-avaruudesta, joka on yksiulotteinen paitsi, kun $y_2 = 0$.

Jos $y_2 = 0$, seuraa yht�l�st� $f_1 = 0$, ett� $y = 0$.
T�m� tilanne vastaa vain yht� yksitt�ist� klassista ratkaisua: 
parametrin $C$ arvon t�ytyy olla 0, jolloin $y = \tfrac{x^4}{16}$. 
T�ll�in mist��n ideaalin $\II_3$ polynomista ei saada ehtoa 
$x$- eik� $y_2$-komponentille, joten ratkaisuk�yr�n seuraaminen ei onnistu.
Systeemin jatkaminen uudelleen saattaisi t�ll�in tuottaa tuloksia.

\poistovedoksesta{
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \epsfig{file=tap5kuva.eps, width=8cm}
    \caption{Ratkaisuja tapauksessa 5}
    \label{fig:tap5kuva}
  \end{center}
\end{figure}
}

Kuvassa \ref{fig:tap5kuva} on piirrettyn� kaksi tapauksen 5
ratkaisuk�yr��, joiden alkupisteet ja niit� vastaavat
klassisen ratkaisun 
\begin{equation}
  \label{tapaus5ykl}
  y = \left( \tfrac{x^2}{4} + C \right)^2
\end{equation}
parametrin $C$ arvot ovat:
\begin{itemize}
\item
    $(x, y, y_1, y_2) = \left( -2, 4, -4, 4 \right) $,\,
    $C = 1$
\item
    $(x, y, y_1, y_2) = \left( -3, \tfrac{25}{16}, -\tfrac{15}{4}, 
                         \tfrac{23}{4} \right) $,\,
    $C = -1$.
\end{itemize}
Ratkaisuk�yr�t leikkaavat toisensa singulariteetissa korkeudella 1.
Huomattakoon j�lkimm�isen ratkaisun kohdalla mielenkiintoinen kulkeminen
sateenvarjon ``lehdelt�'' toiselle ``laakson'' $y = 0$ kautta.



\section{Yhteenveto}

Systeemin jatkaminen ja prim��ridekomposition soveltaminen
v��rien komponenttien poistamiseen osoittautui Whitneyn sateenvarjon
kohdalla toimivaksi menetelm�ksi singulariteetin poistamiseen.

Tapauksessa 5 j�i yksitt�inen ratkaisu, jonka laskeminen ei onnistunut
$\JJ$:ss�k��n alkuper�isen systeemin singulariteettikohdassa. T�m�
tilanne muistuttaa tapauksen 1 tilannetta, jossa vain yksi ratkaisu
kulki singulariteetin kautta $\J$:ss�. Systeemin jatkaminen saattaisi
auttaa molemmissa tapauksissa, mutta sit� ei kokeiltu.

Menetelm� vaatii jonkin verran k�sity�t� sen analysoinnissa, 
mitk� prim��ridekomposition antamista ideaaleista j�tet��n
huomiotta, kun halutaan poistaa varieteetin ep�oleelliset komponentit.
Jotta menetelm�st� saataisiin helppok�ytt�inen algoritmi, 
t�m� askel pit�isi saada automatisoitua. T�ll�in olisi my�s syyt�
selvitt�� teoreettisesti, onko t�llainen ylip��t��n aina mahdollista.




\pagebreak


\section*{Merkinn�t}
\addcontentsline{toc}{section}{Merkinn�t ja nimitykset}

\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}@{\qquad}p{12cm}@{}}
\vastaa      & Vastaa \\
\dodo{}{\xi} & Moniston $M$ lokaalin koordinaatin $\xi$ suuntainen 
               kantavektori tangenttiavaruudessa $T(M)$ \\
d \xi        & Moniston $M$ koordinaattifunktion $\xi$ differentiaali
               eli $\Tt{M}$:n $\dodo{}{\xi}$:lle duaalinen kantavektori \\
\dim V       & Vektoriavaruuden $V$ dimensio \\
\J           & Tavallisten reaalisten differentiaaliyht�l�iden 
               ensimm�isen kertaluvun suihku\-avaruus \\
\JJ          & Tavallisten reaalisten differentiaaliyht�l�iden 
               toisen kertaluvun suihku\-avaruus  \\
\mathbb{N}   & Luonnollisten lukujen joukko $\{1, 2, 3, \ldots \}$ \\
\mathcal{N}(\A) & Matriisin $\A$ nolla-avaruus \\
\pi          & Kanoninen projektio \\
\mathbb{R}   & Reaalilukujen joukko \\
T(M)         & Moniston $M$ tangenttiavaruus \\
\Tt{M}       & $T(M)$:n duaali eli moniston $M$ tangentti\-avaruuden 
               lineaaristen funktionaalien lineaari\-avaruus \\
\end{tabular}


\section*{Nimitykset}

\begin{tabular}{@{}lll}
Distribuutio      & Distribution             & \ref{def:distribuutio} \\
Integraalimonisto & Integral manifold        & \ref{def:integraalimonisto} \\
Jatkaminen, jatko & Prolongation             & \ref{def:jatkaminen} \\
Kontaktimuoto     & Contact form             & \ref{def:kontaktimuoto1},
                                               \ref{def:kontaktimuoto2} \\
Noetherin rengas  & Noetherian ring          & \ref{def:noetherinrengas} \\
Prim��ridekompositio & Primary decomposition & \ref{def:primaaridekompositio}\\
Suihkuavaruus     & Jet space                & \ref{def:suihkuavaruus} \\
Varieteetti       & Variety                  & \ref{def:varieteetti} \\

\end{tabular}


\pagebreak
\begin{thebibliography}{2}
\addcontentsline{toc}{section}{\refname}
  \bibitem{jukkajateijo} Teijo Arponen, Jukka Tuomela,
    \emph{On the Numerical Solution of
     Involutive Ordinary Differential Equations: Numerical Results},
     Research Report A370, Institute of Mathematics,
     Helsinki University of Technology, 1996.

  \bibitem{teijo} Teijo Arponen,
    \emph{Differentiaalialgebrallisten yht�l�iden numeerinen laskenta},
    diplomity� Teknillisen korkeakoulun teknillisen matematiikan ja fysiikan
    osastolla, 1996.

  \bibitem{becker} Thomas Becker, Volker Weispfenning,
    \emph{Gr�bner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra},
    Springer-Verlag, 1993.

  \bibitem{boothby} William M. Boothby,
    \emph{An Introduction to Differentiable Manifolds and
    Riemannian Geometry}, Second Edition, Academic Press, 1986.

  \bibitem{clos} David Cox, John Little, Donal O'Shea,
    \emph{Ideals, Varieties, Algorithms}, Springer-Verlag, 1992.

  \bibitem{axiom} Richard D. Jenks, Robert S. Sutor,
    \emph{Axiom: The Scientific Computation System},
    Springer-Verlag, 1992.

  \bibitem{janich} Klaus J�nich, \emph{Vektoranalysis}, 2. Auflage,
    Springer-Verlag, 1993.

  \bibitem{nicholson} W. Keith Nicholson,
     \emph{Introduction to Abstract Algebra}, PWS-Kent, 1993.

  \bibitem{jukka} Jukka Tuomela, \emph{On the Numerical Solution of
     Involutive Ordinary Differential Equations},
     Research Report A383, Institute of Mathematics,
     Helsinki University of Technology, 1996.
\end{thebibliography}

\pagebreak


\section*{Liite 1 \quad Axiom-komentojonot}
\addcontentsline{toc}{section}{Liite 1: Axiom-komentojonot}

Prim��ridekomposition laskemiseen on k�ytetty seuraavia axiom-komentojonoja:


\subsection*{Tapaus 2}
\begin{verbatim}
dp:=ODPOL(UP(x,FRAC INT));
y:=makeVariable('y)$dp;
p1:dp:=y.0*y.1**2-x^2;            -- tapaus 2
)read djaprdec
\end{verbatim}

\subsection*{Tapaus 3}
\begin{verbatim}
dp:=ODPOL(UP(x,FRAC INT));
y:=makeVariable('y)$dp;
p1:dp:=y.1*x**2-y.0**2;           -- tapaus 3
)read djaprdec
\end{verbatim}

\subsection*{Tapaus 5}
\begin{verbatim}
dp:=ODPOL(UP(x,FRAC INT));
y:=makeVariable('y)$dp;
p1:dp:=y.0*x**2-y.1**2;           -- tapaus 5
)read djaprdec
\end{verbatim}

N�iss� talletetaan \verb-Orderly DifferentialPolynomial- "=tyyppiseen
muuttujaan \verb-p1- k�sitelt�v� polynomi $f:\J\to\mathbb{R}$. 
Vapaata muuttujaa $x$ merkit��n \verb-x-:ll� ja ratkaisua $y$ \verb-y.0-:lla.
Ratkaisun derivaattoja $y_1$ ja $y_2$ merkit��n \verb-y.1-:ll� ja 
\verb-y.2-:lla.

Lopuksi kutsutaan j�ljemp�n� esitett�v�� \verb-djaprdec--komentojonoa.


\subsection*{Yhteinen osuus: {\tt djaprdec}}

\begin{verbatim}
p2:=D(p1);
pz1:=(eval(p1,[y.1=z1,y.0=z]) :: DMP([z2,z1,z,x],FRAC INT));
pz2:=(eval(p2,[y.1=z1,y.0=z,y.2=z2]) :: DMP([z2,z1,z,x],FRAC INT));
idp:=ideal([pz1,pz2]);
radical(idp)
dec:=primaryDecomp(idp);
#dec
for i in 1..#dec repeat output dec.i
for i in 1..#dec repeat output radical(dec.i)
\end{verbatim}

Yhteisess� osuudessa derivoidaan ensin
\verb-p1-:ll� merkitty polynomi $f$. N�in saatava jatko $g$ talletetaan
nimelle \verb-p2-. 

Seuraavaksi \verb-p1- ja \verb-p2- muunnetaan
\verb-Distributed Multivariate Polynomial- "=tyyppisiksi
ja tallennetaan nimille \verb-pz1- ja \verb-pz2-, koska
prim��ridekompositio on m��ritelty axiomissa vain t�m�ntyyppisten
olioiden viritt�mille ideaaleille. N�iss� polynomeissa merkit��n
$x$:�� edelleen \verb-x-:ll�, mutta $y$:t� ja sen derivaattoja $y_1$ ja $y_2$
merkit��n \verb-z-:lla, \verb-z1-:ll� ja \verb-z2-:lla.

Polynomien \verb-pz1- ja \verb-pz2- viritt�m� ideaali tallennetaan muuttujaan
\verb-idp- ja sen radikaali-ideaali lasketaan mielenkiinnon vuoksi.
Seuraavaksi lasketaan \verb-idp-:n prim��ridekompositio ja se tallennetaan
muuttujaan \verb-dec-.
Lopuksi tulostetaan prim��ridekomposition ideaalit sek� niiden
radikaali-ideaalit.

\end{document}

