Harj. 3 loppuviikko, teht. 6
============================

> 
> with(linalg):

Warning: new definition for   norm
Warning: new definition for   trace

> A:=matrix(3,3,[8,6,6,-3,-1,-3,-6,-6,-4]);


                                    [  8   6   6 ]
                                    [            ]
                               A := [ -3  -1  -3 ]
                                    [            ]
                                    [ -6  -6  -4 ]
> B:=matrix(3,3,[1,0,0,2,1,0,0,0,3]);


                                     [ 1  0  0 ]
                                     [         ]
                                B := [ 2  1  0 ]
                                     [         ]
                                     [ 0  0  3 ]
> C:=matrix(3,3,[109,87,81,87,73,63,81,63,61]);


                                   [ 109  87  81 ]
                                   [             ]
                              C := [  87  73  63 ]
                                   [             ]
                                   [  81  63  61 ]
> Id:=diag(1,1,1);


                                      [ 1  0  0 ]
                                      [         ]
                                Id := [ 0  1  0 ]
                                      [         ]
                                      [ 0  0  1 ]
> nolla:=vector([0,0,0]);


                              nolla := [ 0, 0, 0 ]
> poly1:=charpoly(A,lambda);


                                       3           2
                        poly1 := lambda  - 3 lambda  + 4
> poly2:=charpoly(B,lambda);


                                            2
                       poly2 := (lambda - 1)  (lambda - 3)
> poly3:=charpoly(C,lambda);


                               3             2
                poly3 := lambda  - 243 lambda  + 960 lambda - 16
> solve(poly1=0,lambda);


                                    -1, 2, 2
> linsolve(A-2*Id,nolla);


                        [ - _t[1] - _t[2], _t[1], _t[2] ]
> linsolve(A+1*Id,nolla);


                          [ - 2 _t[1], _t[1], 2 _t[1] ]
> # -1:n alg.kertaluku=geom.kertaluku=1

> # 2:n alg.kertaluku=geom.kertaluku=2

> # Ei ole defektiivinen

> eigenvects(A);


          [2, 2, {[ -1, 1, 0 ], [ -1, 0, 1 ]}], [-1, 1, {[ -2, 1, 2 ]}]
> lamb:=solve(poly2=0,lambda);


                                 lamb := 1, 1, 3
> linsolve(B-lamb[1]*Id,nolla);


                                 [ 0, _t[1], 0 ]
> linsolve(B-lamb[2]*Id,nolla);


                                 [ 0, _t[1], 0 ]
> # 1:n alg.kertaluku=2, geom.kertaluku=1

> # 3:n alg.kertaluku=geom.kertaluku=1

> # On defektiivinen

> eigenvects(B);


                  [1, 2, {[ 0, 1, 0 ]}], [3, 1, {[ 0, 0, 1 ]}]
> lamc:=solve(poly3,lambda);


                                          1/2                 1/2
                lamc := 4, 239/2 + 9/2 705   , 239/2 - 9/2 705
> evc1:=linsolve(C-4*Id,nolla);


                      evc1 := [ _t[1], - 4 _t[1], 3 _t[1] ]
> evc2:=linsolve(C-lamc[2]*Id,nolla);
\


 evc2 :=

          25                        1/2          67                        1/2
     [ - ---- _t[1] + 3/44 _t[1] 705   , _t[1], ---- _t[1] - 1/44 _t[1] 705    ]
          44                                     44
> evc3:=linsolve(C-lamc[3]*Id,nolla);
\


evc3 :=

                                         1/2                               1/2
    [ _t[1], 5/26 _t[1] - 3/130 _t[1] 705   , - 1/13 _t[1] - 2/65 _t[1] 705    ]
> # Kaikkien omin.arvojen alg. ja geom.kertaluku = 1
(Nain on aina, kun ominaisarvot erilliset)
> # Ei ole defektiivinen

> eigenvects(C);


[4, 1, {[ 1, -4, 3 ]}],

          2
[RootOf(_Z  - 239 _Z + 4), 1,

{[

                2                 157                      2                 421
  1/66 RootOf(_Z  - 239 _Z + 4) - ---, 1, - 1/198 RootOf(_Z  - 239 _Z + 4) + ---
                                   66                                        198

   ]}

]
> # Tassa (V.3) Maple jostain syysta kieltaytyi ratkaisemasta 2. asteen
> # yhtaloa. RootOf-muodot voi yrittaa ratkaista allvalues-komennolla:

> allvalues(RootOf(z^2-239*z+4));

                                    1/2                 1/2
                     239/2 + 9/2 705   , 239/2 - 9/2 705
> # Tasta on hiukan hankala poimia, joten otetaan edella ratkaistuista:
# Valitaan parametriksi vaikkapa _t[1]=1
> evc1:=subs(_t[1]=1,op(evc1));


                              evc1 := [ 1, -4, 3 ]
> 
evc2:=subs(_t[1]=1,op(evc2));

                          25            1/2      67            1/2
             evc2 := [ - ---- + 3/44 705   , 1, ---- - 1/44 705    ]
                          44                     44
> 
evc3:=subs(_t[1]=1,op(evc3));

                                         1/2                   1/2
            evc3 := [ 1, 5/26 - 3/130 705   , - 1/13 - 2/65 705    ]
> # Ovatko ortogonaaliset?

> innerprod(evc1,evc2);

                                        0
> innerprod(evc1,evc3);

                                        0
> innerprod(evc2,evc3);


                                        0

> # Ortogonaalisuus on tietysti selvio, koska matriisi on symmetrinen
> # Yhtä selviö on, etteivät ole normaaratut, ellei varta vasten suoriteta
> # normeerausta, mitä emme tehneet (valitsuimme vain summan mutikassa
> # parametrin t=1