Z-muunnos ja differenssiyhtälöt

7.11.00

>

Z-muunnoksia ja käänteismuunnoksia

> restart:alias(Z=ztrans,IZ=invztrans);

Warning, the name changecoords has been redefined

> ztrans(1,n,z);

> ztrans(a^k,k,z):simplify(%);

> ztrans(k,k,z);

> Z(cos(k*alpha),k,z);Z(sin(k*alpha),k,z);

> seq(Z(x(k-j),k,z),j=1..4);

> seq(Z(x(k+j),k,z),j=1..3);

>

Käänteismuunnoksia

Z-käänteismuunnoksessa on annettu funktio z-> F(z) ja etsitään sen kertoimia, kun F(z) esitetään 1/z:n potenssien mukaan.

Jos F(1/z) on analyyttinen O:ssa, se voidaan kehittää potensssisarjaksi (1-käs.), jolloin F(z):lle saadaan sarjaesitys korvaamalla z 1/z:lla.

Esim:

> F:=z-> z/(z-2);G:=normal(F(1/z));

> subs(z=1/z,series(G,z=0,10));

Maple osaa kehittää jopa äärettömyyspisteen ympäristössä, saadaan siis vielä yksinkertaisemmin:

> series(F(z),z=infinity,10);

> IZ(F(z),z,k);

> F:=z-> z/((z-1)*(z-2));G:=normal(F(1/z));subs(z=1/z,series(G,z=0,10));

> IZ(F(z),z,k);seq(%,k=0..9);

> #convert(F(z),parfrac,z);map(IZ,[op(%)],z,k);

Exa 3.8:

> Y:=z/((z-1)*(z-2)):Yperz:=Y/z: Yperz:=convert(%,parfrac,z);

> Y:=expand(z*Yperz);IZ(Y,z,k);

Jos oltaisiin kehitetty suoraan jakamatta z:lla:

> Y:=convert(Y,parfrac,z);

> seq(1/(2*I*a)*a^k*(I^k-(-I)^k),k=0..10);seq(a^(k-1)*sin(k*Pi/2),k=0..10);

Differenssiyhtälöitä

Exa 3.15 s. 239

> dy:=y(k+2)+y(k+1)-2*y(k)=1;

> zdy:=ztrans(dy,k,z);

> Y:=solve(zdy,ztrans(y(k),k,z));

> y(0):=0:y(1):=1:

> Y;Y:=factor(%);

> Yperz:=convert(Y/z,parfrac,z);

> Y:=expand(z*Yperz);

> invztrans(Y,z,k);

> yy:=unapply(%,k);

> subs(y=yy,dy);

> eval(%);

> simplify(%);

> plot([seq([k,yy(k)],k=0..8)]);

Voidaan ratkaista myös suoraan rsolve:lla (vrt. dsolve)

> restart:dy:=y(k+2)+y(k+1)-2*y(k)=1;

> rsolve({dy,y(0)=0,y(1)=1},y(k));yy:=unapply(%,k);

Toisaalta voidaan tietenkin muodostaa jonoa mielivalt. pitkälle suoraan rekursiokaavasta:

> %restart:

> y(0):=0:y(1):=1:for k from 0 to 20 do
y(k+2):=1-y(k+1)+2*y(k): od:

> seq(y(k),k=0..20);seq(yy(k),k=0..20);

Exa 3.16

> restart:

> dy:=8*y(k+2)-6*y(k+1)+y(k)=9;
zdy:=ztrans(dy,k,z);
Y:=solve(zdy,ztrans(y(k),k,z));
y(0):=1:y(1):=3/2:
Y;

> Yperz:=convert(Y/z,parfrac,z);
Y:=expand(z*Yperz);
invztrans(Y,z,k);
yy:=unapply(%,k);
subs(y=yy,dy);
eval(%);
simplify(%);
plot([seq([k,yy(k)],k=0..9)]);

Exa 3.17 s. 242

> restart:dy:=y(k+2)+2*y(k)=0;
zdy:=ztrans(dy,k,z);
Y:=solve(zdy,ztrans(y(k),k,z));
y(0):=1:y(1):=sqrt(2):
Y;

>
Yperz:=convert(Y/z,parfrac,z,{I,sqrt(2)});

> Y:=expand(z*Yperz);
invztrans(Y,z,k);

> yy:=evalc(%);

>
yy:=unapply(yy,k);
subs(y=yy,dy);
eval(%);
assume(k,integer):simplify(%);
plot([seq([k,yy(k)],k=0..9)]);

>

> restart:dy:=y(k+2)+2*y(k)=0;
rsolve({dy,y(0)=1,y(1)=sqrt(2)},y(k));

> evalc(%);simplify(%,symbolic);

>

Stabiilisuus

> restart:alias(Z=ztrans,IZ=invztrans);

Katsotaan osamurtoja hieman tarkemmin

> F:=2*z^3+z^2+z+1:F:=F/(((z-I)*(z+I))^3);

> expand(denom(%));

> convert(F,parfrac,z,I);

Määritellään kertomislauseeseen sopiva operaattori, annetaan z:n olla globaali.

> mdz:=F->(-z*diff(F,z));

> F:=z/(z-a):

> Fjono:=seq(simplify((mdz@@k)(F)),k=0..4);

> Fjono[5];convert(%,parfrac,z);

> ztrans(k^4*a^k,k,z);

> IZ(1/(z-a)^4,z,k);

Nämä saadaan derivoinnista a:n suhteen, sittenkin helpommin kuin edellä kertomislausetta käyttäen. (Siinä menee

päättely vähän väärinpäin, vaikka antaa sekin hyvin uskoa asiaan.)

>

> znavat:=proc(G,z)
# Muista kutsua näin:
# tulos:=proc(G,z): # numeroarvot: tulos[1]; # kuva: tulos[2];
local navat,kuva ;
navat:=[solve(denom(G)=0,z)];
kuva:=plots[display]([plot(zip((x,y)->[x,y],map(Re,navat),map(Im,navat)),style=point,symbol=circle),plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained)]);
[navat,kuva];
end:

> zstabiili:=proc(G,z)
max(op(map(abs,[fsolve(denom(G)=0,z,complex)])));
#fsolve(denom(G)=0,z,complex);

> end:

> G:=z^2/(z^3-3*z^2+2.5*z-1);

> zstabiili(G,z);

Warning, the name changecoords has been redefined

> tulos:=znavat(G,z):

> tulos[2];tulos[1];

> max(op(map(abs,tulos[1])));

Esim. 3.24, s. 256

> F:=1/(z^3+1/3*z^2-1/4*z-1/12);

> tulos:=znavat(F,z):

> max(op(map(abs,tulos[1])));

> tulos[2];tulos[1];

> zstabiili(F,z);

Exa 3.25

> G:=1/(z^3-3*z^2-1/4*z+3/4);

> tieto:=znavat(G,z):

> tieto[2];tieto[1];

>

Konvoluutio

> zconv:=(x,y,k)->sum(x(j)*y(k-j),j=0..k);

>