Luento, ldys

Differentiaaliyhtälösysteemit

Kirjallisuutta

GRE,KRE ja monia muita alaan erikoistuneita, kuten

BdP: Boyce-DiPrima: Elementary Diff. eq. and boundary val. pr., Wiley 6. painos
Nagle-Saffa: Diff. eq. and bdary val. probls., 2. painos
Hubbard-West: ODE- a dynamical systems approach osat I ja II, Springer
Coombes-Hunt et al. Diff. Eq. with Maple, Wiley 2. painos (liittyy läheisesti
kirjaan [BdP]).
Laode

Kirjat GRE ja KRE

              GRE                               KRE

Luku 1  Johdanto  (tuttua)            Luku 1  1. kl (tuttua)
Luku 2  1. kertaluku (tuttua)              1.8 modelling electric ..
    2.3 Applications                  Luku 2 2. kl LIN (harjtyö)
        - Electric                    Luku 3 Kork. kl. LIN                   
        - Radioactive                 Luku 4 systems
        - Population dyn.                 4.3. HY
        - Mixing problems                 4.4 Phase plane
Luku 3  2. kl. ja korkeamman LIN          4.5 EHY
          (harjtyö)                   Luku 6 Laplace
     3.9 Systeemit                    Luku 20 Num. menet
       Esimerkkejä, yleistä teoriaa,      1-3 ODE
       Ratkaisutekniikkaa ei oteta
       tämän kohdan mukaan.

Luku 5  Laplace muunnos
Luku 6 Numeeriset menetelmät
Luku 7 Kvalitatiiviset menet,
       faasitaso, linearisointi

Luku 11 Matriisin diagonalisointi
       11.5: Appl. to 1st order systems

Asiaan

Merkintöjä:

• Riippumaton muuttuja, useimmiten t (fysikaalisesti aika), joskus myös x (fysikaalisesti paikka).
• Riippuvat muuttujat, eli ratkaistavat funktiot: x₁(t), ... , x_n(t) (GRE) tai
  y₁(t), ... ,y_n(t) (KRE) (jos riippumaton muuttuja on t).

Yleinen tapaus

    x1' = f1(t,x1, ..., xn)
    x2' = f2(t,x1., ..., xn)
     .
     .
     .

    xn' = fn(t,x1, ..., xn)  

Vektorimuodossa:

(DYS)     X'=F(t,X)

(AE)      X(a)=B

Lineaariset diffyhtälösysteemit

KRE 4.1-> s. 158 ->
GRE 3.9-> s. 156 ->
BdB Ch 7 s. 335 ->

Tyypillisiä ilmiöitä mallinnukseen

• Massa-jousisyst
• LRC-piirit
• Populaatiot (Lotka-Volterra), tämä on esimerkki epälineaarisesta
• Nesteiden sekoittuminen
• Kemialliset reaktiot

Yleinen lineaarinen systeemi

    x1'=a11(t)x1 + a12(t)x2 + ... + a1n(t)xn + f1(t)
    x2'=a21(t)x1 + a22(t)x2 + ... + a2n(t)xn + f2(t)
    .
    .
    .
    xn'=an1(t)x1 + an2(t)x2 + ... + ann(t)xn + fn(t)

 (LSYS)   X'=A(t)X + F(t)

Käytämme lyhenteitä HY (homogeeniyhtälö) ja EHY (epähomogeeniyhtälö).

Alkuarvotehtävä (AA-teht.)

Yllä oleva diffyhtälösysteemi yhdessä alkuehtojen kanssa muodostaa (AA)-tehtävän. Matriisimuodossa:

  (LAA)     X'=A(t)X + F(t), X(a)=B

Peruslauseita

Yleinen olemassaolo-ja yksikäsitteisyyslause

Lineaarisen systeemin olemassaolo-ja yksikäsitteisyyslause

Olkoot a_ij(t) ja f_i(t) jatkuvia välillä I. Tällöin yllä esitetyllä AA-tehtävällä (1) on jokaista annettua alkuarvovektoria B kohti yksikäsitteinen ratkaisu X(t)=(x₁(t), ... ,x_n(t))^T välillä I.

Lineaaristen systeemien peruslauseet skannattuna

• Kalvo 1
• Kalvo 2
• Kalvo 3

Korkeamman kertaluvun yhtälö(systeemi)n muuntaminen 1. kertal. systeemiksi

Kts. KRE s. ..., GRE s. ..., myös harj. teht   

• Riittää tutkia 1. kl. systeemejä (teoreettinen aspekti)
• Diffyhtälöohjelmistot suorittavat yleensä 1. kl. systeemin ratkaisun. Käyttäjän on osattava tehdä (ja koodata) ko. muunnos. (käytännöllinen aspekti)

Älä kuitenkaan toimi liian kaavamaisesti !

• Jos kyseessä on systeemi, jossa esiintyy 2. kertaluvun vakiokertoimisia yhtälöitä, ei yleensä kannata muuntaa. (vrt. esim. KRE)
• CA-systeemit (kuten Maple) osaavat yleensä käsitellä korkeamman kl:n systeemejäkin.

Emme käsittele tässä "solution by elimination"-tekniikkaa (vrt. GRE a. 162->), vaan sovellamme yleispäteviä matriisimenetelmiä.

Maple-avusteisia ratkaisutapoja

• Reaaliset erisuuret ominaisrvot
• Ratkaisukäyrät ja käyräparvet Maplella
• Lineaarisen diffyhtälösysteemin ratkaisu diagonalisoimalla
• Tässä on esimerkki (sama kuin GRE ss. 169)
  

Matriisieksponenttifuntkio ja yleistetyt ominaisvektorit

e^At Maplella

e^At:n hyödyntäminen Matlabilla

function E = expm2(A)
%EXPM2  Matrix exponential via Taylor series.
%   E = expm2(A) illustrates the classic definition for the
%   matrix exponential.  As a practical numerical method,
%   this is often slow and inaccurate.
%
%   See also EXPM, EXPM1, EXPM3.

%   Copyright (c) 1984-98 by The MathWorks, Inc.
%   $Revision: 5.4 $  $Date: 1997/11/21 23:38:26 $

% Taylor series for exp(A)
E = zeros(size(A));
F = eye(size(A));
k = 1;
while norm(E+F-E,1) > 0
   E = E + F;
   F = A*F/k;
   k = k+1;
end

expm-funktio, tositarkoitukseen

>> help expm 

 EXPM   Matrix exponential.
    EXPM(X) is the matrix exponential of X.  EXPM is computed using
    a scaling and squaring algorithm with a Pade approximation.
 
    Although it is not computed this way, if X has a full set
    of eigenvectors V with corresponding eigenvalues D, then
    [V,D] = EIG(X) and EXPM(X) = V*diag(exp(diag(D)))/V.
 
    EXPM1, EXPM2 and EXPM3 are alternative methods.
 
    EXP(X) (that's without the M) does it element-by-element.
 
    See also EXPM1, EXPM2, EXPM3, LOGM, SQRTM, FUNM.

expm-käyttöinen lineaarisen systeemin ratkaisija

y(:,i) = expm(A * t(i)) * x0; 

function [t,y] = linsys(A,x0,T,siz)
% Input: Matriisi A, alkuarvovektori x0, loppuaika T (aikaväli: 0 .. T)
% Valinnainen siz: kuinka moneen osaan aikaväli jaetaan, oletus 100.
%
% Output: t - vektori:  diskretoitu aika-akseli (oletus 100-pituinen)
%         y - matriisi: 100 x n, kukin sarake edustaa ratkaisufunktion
%                       arvoja t-aikapisteissä.
% 
% Esim: A=[1 0 0;1 3 0;0 1 1];x0=[1;2;3];
%       [t,y]=linsys(A,x0,2);
%       plot(t,y)                       % aikariippuvuusparvi (mieliv. n)
%       plot(y(:,1),y(:,2))             % faasitaso (1,2)  
%       plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))     % faasiavaruus (3-d)
%       plot(y(:,i),y(:,j))             % projektio (i,j)-faasitasossa
%                                       % (jos n > 2)
if nargin < 4, siz = 100; end; 
t = linspace(0,T,siz);
m=size(A);m=m(1);
y = zeros(m,siz);
for i=1:siz,
y(:,i) = expm(A * t(i)) * x0;
end;
y=y';      % Transponoidaan y-matriisi,jotta yhdenmukainen ode-funkt. kanssa

2x2-systeemien faasitasoluokittelu