http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/02/L/L4.html
Päivitetty 23.9.2002
Luento 7
ti-ke 24-25.9.02
Linkit
Esim 2.3. TE s. 14. (Luennolla esitetty jännitysnäytelmä)
Sama mws:nä
Kannanvaihto, Lineaarikuvaukset
Kirjalyhenteet:
TE: Timo Eirolan pruju
KRE Kreyszig (8. painos)
LAY: Lay Linear Algebra
STR Strang: Linear Algebra
LAODE: Golubitsky-Dellnitz
Näissä kirjojen kohdissa on tähän liittyvää
-
TE Luku 2: Lineaarikuvaukset s. 10 ...
-
KRE8 s. 362 - 365 (Lyhyesti ja vain R^n -> R^m )
-
Lay 3: s. 232
-
LAODE 3.2 s. 67-> ja Ch9, s. 309->,
Lineaarikuvaus Rn -> Rm
Tämä on entuudestaan tuttua asiaa, mutta antaa olla tässä kertauksen
vuoksi (kopioitu L3.html-tiedoston lopusta).
Määr.: Olkoon L:Rn -> Rm kuvaus.
(Siis jokaiseen x in Rn liittyy yksikäsitteinen Lx in Rm.
Kuvaus on lineaarinen , jos
- L(x+y)=Lx + Ly kaikilla x,y in Rn
- L(cx)=cLx kaikilla x in Rn ja c in R.
Jokainen matriisi A (mxn) määrittelee lineaarikuvauksen :
Rn -> Rm, kuten matriisitulon osittelulaeista heti
seuraa.
Myös kääntäen:
Lause
Olkoon F:Rn -> Rm. Tällöin F voidaan esittää
matriisin A avulla.
Matriisi saadaan latomalla kantavektoreiden kuvat sarakkeiksi matriisiin.
Tod Olkoon x in Rn. Esitetään x luonnollisen kannan avulla:
n
-----
\
x = ) x[i] e[i]
/
-----
i = 1
F:n lineaarisuuden nojalla:
n
-----
\
F(x) = ) x[i] F(e[i])
/
-----
i = 1
Mutta tämähän on sama kuin A x , kun A-matriisina on
F(e[i]) - sarakevektoreista koostuva matriisi.
QED.
Yleiset lineaarikuvaukset T: U -> V
Määr TE s. 12. Aivan sama kuin edellä Rn:n tap.
Huom! Lineaarikuvaus voi olla määritelty muutenkin kuin
matriisin avulla. Esimerkkejä lineaarikuvauksista funktioavaruuksissa:
- Derivointi,
- Integrointi,
- Integraalimuunnokset (Fourier- Laplace. ym. )
- Diskreetit (jonoavaruus-)muunnokset (Z-muunnos, DFT (FFT)) ym.
Lause: (TE 2.1 s. 13 alh.) Lineaarikuvaus T:U --> V , missä dim(U)=n,
dim(V)=m voidaan lausua matriisin A avulla
(T=LA), kun kannat
BU ja BV on kiinnitetty.
Matriisi A saadaan latomalla BU-kantavektoreiden kuvien
BV-koordinaattivektorit sarakkeiksi A-matriisiin.
Esim 2.3. TE s. 14.