http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/02/L/L10.html

L10 Ortogonaalisuus

Esitys ortog. kannassa, ortogonaalinen projektio, ortogonalisointi

Luennoilla esitellyt LSQ/ortog/QR-työarkit html-muodossa Muutama legendaarinen käsinkirjoitettu giffi. Esimerkki Gram-Schmidtistä "käsin" Maplella (harj6av, teht. 6)

Miten lasketaan QR-hajotelma "käsin"

Vrt. vaikkapa Harj. 7 av teht. 2

Olkoot matriisin A sarakkeet v1,...,vm LRT.

A=QR - hajotelma on valmis!

Miten lasketaan PNS-sovitus annettuun dataan

Olkoon annettu datapisteet (x1,y1),...,(xN,yN). Sovitettava jokin malli tähän dataan PNS-mielessä. Tässä xi-pisteet voivat aivan yhtä hyvin olla vektoreita, eli malli voi olla myös usean muuttujan funktio.

Ensimmäiseksi vastaan/mieleen tuleva malli on yleensä polynomi. Olkoonpa vaikka 2. asteen polynomi p(x)=c0+c1x+c2x2. Minimoidaan neliösumma (parametrien c0,c1,c2 suhteen) :

                 sum(yi-p(xi)2,i=1..N)
Jos tämä kirjoitetaan vektorimuodossa, huomataan heti, että kyse on tästä:
                      min || y - A c ||2 ,
missä y on [y1,...,yN]T ja (A)i=[1,xi,xi2]

Matriisityyppejä

Symm, vinosymm, ortog, KRE 7.12, Herm, vinoherm, unit, KRE 7.13,

Lause (R): Lause (C): Lause: A symm. => Eri ominaisarvoihin liitt. om. vekt. ortog.

Lause Symmetrisen nxn-matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa Rn:lle ON kanta.

Tod: Syvällinen kohta: symm matr.=> alg. kertaluku = geom. kertaluku.
Loppu on niputtamista keskenään ortogonaalisiin aliavaruuksiin (edellisen mukaan) ja kunkin aliavaruuden sisällä ortonormeeraamista (Gram-Schmidt:llä).



Heikki K Apiola
Last modified: Mon Oct 28 12:46:30 EET 2002