http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/02/L/L10.html
L10 Ortogonaalisuus
Esitys ortog. kannassa, ortogonaalinen projektio, ortogonalisointi
Luennoilla esitellyt LSQ/ortog/QR-työarkit html-muodossa
Muutama legendaarinen käsinkirjoitettu giffi.
Esimerkki Gram-Schmidtistä "käsin" Maplella (harj6av, teht. 6)
Miten lasketaan QR-hajotelma "käsin"
Vrt. vaikkapa Harj. 7 av teht. 2
Olkoot matriisin A sarakkeet v1,...,vm LRT.
- Suoritetaan GS-ortonormeeraus -> q1,...,qm. Ne ovat Q-matriisin
sarakkeet.
- GS tuottaa "kolmiomaisen" systeemin, siitä on helppo
lausua "vanhat" vi:t "uusien" qi-vektorien avulla.
- R-matriisin j:s sarake on vj:n koordinaattivektori [vj]Q
(mieti vähän!)
A=QR - hajotelma on valmis!
Miten lasketaan PNS-sovitus annettuun dataan
Olkoon annettu datapisteet (x1,y1),...,(xN,yN).
Sovitettava jokin malli tähän dataan PNS-mielessä.
Tässä xi-pisteet voivat aivan yhtä hyvin olla vektoreita, eli malli
voi olla myös usean muuttujan funktio.
Ensimmäiseksi vastaan/mieleen tuleva malli on yleensä polynomi.
Olkoonpa vaikka 2. asteen polynomi p(x)=c0+c1x+c2x2.
Minimoidaan neliösumma (parametrien c0,c1,c2 suhteen) :
sum(yi-p(xi)2,i=1..N)
Jos tämä kirjoitetaan vektorimuodossa, huomataan heti, että kyse on
tästä:
min || y - A c ||2 ,
missä y on [y1,...,yN]T ja
(A)i=[1,xi,xi2]
Matriisityyppejä
Symm, vinosymm, ortog, KRE 7.12,
Herm, vinoherm, unit, KRE 7.13,
Lause (R):
- Symm. matr. ominaisrvot reaaliset
- Vinosymm => puhtaasti imag.
- Ortog => |s|=1 (kompleksitason yksikköymp. kehällä)
- Am:n om. arvot ovat sm:t
Lause (C):
- Herm. matr. ominaisrvot reaaliset
- Vinoherm. => puhtaasri imag.
- Unit. => |s|=1 (kompleksitason yksikköymp. kehällä)
Lause: A symm. => Eri ominaisarvoihin liitt. om. vekt. ortog.
Lause Symmetrisen nxn-matriisin ominaisvektoreista voidaan
muodostaa Rn:lle ON kanta.
Tod: Syvällinen kohta: symm matr.=> alg. kertaluku = geom. kertaluku.
Loppu on niputtamista keskenään ortogonaalisiin aliavaruuksiin (edellisen
mukaan) ja kunkin aliavaruuden sisällä ortonormeeraamista
(Gram-Schmidt:llä).
Heikki K Apiola
Last modified: Mon Oct 28 12:46:30 EET 2002