V3 välikoe 3

12.12. 2002

Alustukset

>    restart:with(inttrans):alias(L=laplace,IL=invlaplace,u=Heaviside):

>    #read("/p/edu/mat-1.414/maple/v302.mpl"):
read("c:\\usr\\heikki\\s02\\v302.mpl"):
#read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v302.mpl"):

1.

Merk.   F(s) = L(u(t-a))(s) .  

>    F(s)=Int(exp(-s*t),t=a..infinity);

Tämä pätee, koska   0 <= a  , ja siksi integroitava = 0 välillä [0,a] (ja 1 siitä eteenpäin).

Olkoon

>    FT := int(exp(-s*t),t = a .. T)

FT := -(exp(-s*T)-exp(-s*a))/s

Kun s > 0, niin   exp(-s*T)    lähenee 0:aa, kun T -> infinity  .   

Siis                  F(s) = exp(-s*a)/s  , missä  s > 0 .

2.

>    dyht := diff(y(t),t,t)+9*y(t) = 8*sin(t)*(1-u(t-Pi))

dyht := diff(y(t),`$`(t,2))+9*y(t) = 8*sin(t)*(1-u(t-Pi))

>    r:=8*sin(t)*(1-u(t-Pi)):  # Heräte talteen.

Sovelletaan Laplace-muunnosta. Huomaa, että termin sin(t)*u(t-Pi)   muuntaminen käy kivuttomasti kirjoittamalla sin(t) = -sin(t-Pi) .

Siten päästään soveltamaan suoraan t-siirtolausetta. Annetaan nyt Maplen tehdä:

>    Ldyht:=L(dyht,t,s);

Ldyht := s*(s*L(y(t),t,s)-y(0))-D(y)(0)+9*L(y(t),t,s) = 8/(s^2+1)+8*exp(-s*Pi)/(s^2+1)

Sijoitetaan annetut alkuehdot:

>    Ldyht:=subs(y(0)=0,D(y)(0)=4,Ldyht);

Ldyht := s^2*L(y(t),t,s)-4+9*L(y(t),t,s) = 8/(s^2+1)+8*exp(-s*Pi)/(s^2+1)

Ratkaistaan Laplace-muunnos (ihan rehellisesti käsin):

                                                            

                                                                     Y(s) = 4/(s^2+9)+8/((s^2+1)*(s^2+9))*(1+exp(-s*Pi))

>    Y:=4/(s^ 2 + 9) + 8/((s^2+1)*(s^ 2+9))*(1+exp(-s*Pi));

Y := 4/(s^2+9)+8/(s^2+1)/(s^2+9)*(1+exp(-s*Pi))

>    Y1:=4/(s^2+9); Y2:=8/(s^2+9)/(s^2+1);

Y1 := 4/(s^2+9)

Y2 := 8/(s^2+9)/(s^2+1)

Siis Y voidaan kirjoittaa:

                                 Y(s) = Y1(s)+Y2(s)+Y2(s)*exp(-s*Pi)  .

Merkitään vastaavia käänteismuunnoksia y1(t), y2(t).  Edellinen johtaa suoraan siniin, tarkemmin sanoen:

>    y1:=t->4/3*sin(3*t);

y1 := proc (t) options operator, arrow; 4/3*sin(3*t) end proc

Y2 voidaan välittömästi kirjoittaa osamurroksi:

>    Y2:=1/(s^2+1)-1/(s^2+9);

Y2 := 1/(s^2+1)-1/(s^2+9)

>    normal(%);  # Tarkistus:

8/(s^2+9)/(s^2+1)

Siten y2(t) on kahden sinitermin summa, tarkemmin sanottuna:

>    y2:=unapply(IL(Y2,s,t),t);

y2 := proc (t) options operator, arrow; sin(t)-1/3*sin(3*t) end proc

Niinpä lopputulos on

                        y(t) = y1(t)+y2(t)+y2(t-Pi)*u(t-Pi)  .

>    y:=t->y1(t)+y2(t)+y2(t-Pi)*u(t-Pi);

y := proc (t) options operator, arrow; y1(t)+y2(t)+y2(t-Pi)*u(t-Pi) end proc

>    y(t);

sin(3*t)+sin(t)+(-sin(t)+1/3*sin(3*t))*u(t-Pi)

Tämä kelpaa vastaukseksi. Voidaan helposti kirjoittaa käsin "piecewise"-muotoon ja vielä helpompaa on antaa homma Maplelle:

>    convert(%,piecewise);

PIECEWISE([sin(3*t)+sin(t), t < Pi],[undefined, t = Pi],[4/3*sin(3*t), Pi < t])

>    r:=8*sin(t)*(1-u(t-Pi)):

>    plot([r,y(t)],t=0..2*Pi,legend=[Heräte,Vaste],color=[red,blue],axes=boxed);

[Maple Plot]

3.

>    restart:

>    #read("/p/edu/mat-1.414/maple/v302.mpl"):
read("c:\\usr\\heikki\\s02\\v302.mpl"):
#read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v302.mpl"):

>    f:=x->piecewise(x > 0 and x < 1,1/2*x,x > 1 and x < 2, 1/2*(2-x));

f := proc (x) options operator, arrow; piecewise(0 < x and x < 1,1/2*x,1 < x and x < 2,1-1/2*x) end proc

>    fo:=paritonjatko(f):

>    Jfo:=JJ(fo,-2..2):

>    plot(Jfo,-4..4);

[Maple Plot]

Tässä (a)-kohdan vastaus.

(b)

Kyseessähän on sinisarja.

>    L:=2:

>    bn:=Int(x/2*sin(n*Pi*x/L),x=0..1)+Int(1/2*(2-x)*sin(n*Pi*x/L),x=1..2);

bn := Int(1/2*x*sin(1/2*n*Pi*x),x = 0 .. 1)+Int(1/2*(2-x)*sin(1/2*n*Pi*x),x = 1 .. 2)

Ehkäpä tuo sieventämistä koskeva vihje ei ollut kovin osuva, jos kohta tuskin kovin haitallinenkaan (toivottavasti).

Tarkoitus oli lähinnä sanoa, että suorita vain yksi osittaisintegrointi ja sijoita tulokseen vuorollaan ao. rajat

>    u:=x: dv:=sin(n*Pi*x/L);

dv := sin(1/2*n*Pi*x)

>    du:=1: v:=int(dv,x);

v := -2/n/Pi*cos(1/2*n*Pi*x)

>    intxsin := u*v-int(v*du,x)

intxsin := -2*x/n/Pi*cos(1/2*n*Pi*x)+4/n^2/Pi^2*sin(1/2*n*Pi*x)

Kaikki integroinnit on nyt tehty, tarvitsee vain sijoittaa rajat. Nuo (subs - subs)-kaavat merkitsevät sijoitusta

integraalifunktioon, jota siis pystyviivalla merkitään.

>    bn := 1/2*(subs(x = 1,intxsin)-subs(x = 0,intxsin))+subs(x = 2,v)-subs(x = 1,v)-1/2*(subs(x = 2,intxsin)-subs(x = 1,intxsin))
bn := 1/2*(subs(x = 1,intxsin)-subs(x = 0,intxsin))+subs(x = 2,v)-subs(x = 1,v)-1/2*(subs(x = 2,intxsin)-subs(x = 1,intxsin))

bn := 4/n^2/Pi^2*sin(1/2*n*Pi)-2/n^2/Pi^2*sin(0)-2*sin(n*Pi)/n^2/Pi^2

>    bn:=trigsiev(bn,n);

bn := 4/n^2/Pi^2*sin(1/2*n*Pi)

>    seq(bn,n=1..10);

4/Pi^2, 0, -4/9/Pi^2, 0, 4/25/Pi^2, 0, -4/49/Pi^2, 0, 4/81/Pi^2, 0

>    osasumma5:=add(bn*sin(n*Pi*x/L),n=1..5);

osasumma5 := 4/Pi^2*sin(1/2*Pi*x)-4/9*1/Pi^2*sin(3/2*Pi*x)+4/25*1/Pi^2*sin(5/2*Pi*x)

>    plot([fo(x),osasumma5],x=-2..2,color=[gray,blue]);

[Maple Plot]

Koska pariton 4-jaksoinen laajennus on jatkuva kaikkialla ja kaikkialla ovat op. ja vp. derivaatat olemassa, niin yleisen

suppenemislauseen mukaan sarja suppenee kaikkialla.

4.

Tämä tehtävä on oppikirjatehtävä, jossa KRE-kirjan/prujun L18aalto.pdf  mukaan etenemällä päästään ratkaisuun,

jossa B[n] -kertoimina ovat tehtävän 3   b[n] -kertoimet.

Saatan kirjoitella tästä vielä malliratkaisun, ehkä suoraan Latex->pdf-muotoon.

Laitan nyt tämän mws->html:n ensin näkyviin tällaisenaan