V3 välikoe 3
12.12. 2002
Alustukset
> | restart:with(inttrans):alias(L=laplace,IL=invlaplace,u=Heaviside): |
> | #read("/p/edu/mat-1.414/maple/v302.mpl"): read("c:\\usr\\heikki\\s02\\v302.mpl"): #read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v302.mpl"): |
1.
Merk. .
> | F(s)=Int(exp(-s*t),t=a..infinity); |
Tämä pätee, koska , ja siksi integroitava = 0 välillä [0,a] (ja 1 siitä eteenpäin).
Olkoon
> |
Kun s > 0, niin lähenee 0:aa, kun T -> .
Siis , missä s > 0 .
2.
> |
> | r:=8*sin(t)*(1-u(t-Pi)): # Heräte talteen. |
Sovelletaan Laplace-muunnosta. Huomaa, että termin muuntaminen käy kivuttomasti kirjoittamalla .
Siten päästään soveltamaan suoraan t-siirtolausetta. Annetaan nyt Maplen tehdä:
> | Ldyht:=L(dyht,t,s); |
Sijoitetaan annetut alkuehdot:
> | Ldyht:=subs(y(0)=0,D(y)(0)=4,Ldyht); |
Ratkaistaan Laplace-muunnos (ihan rehellisesti käsin):
> | Y:=4/(s^ 2 + 9) + 8/((s^2+1)*(s^ 2+9))*(1+exp(-s*Pi)); |
> | Y1:=4/(s^2+9); Y2:=8/(s^2+9)/(s^2+1); |
Siis Y voidaan kirjoittaa:
.
Merkitään vastaavia käänteismuunnoksia y1(t), y2(t). Edellinen johtaa suoraan siniin, tarkemmin sanoen:
> | y1:=t->4/3*sin(3*t); |
Y2 voidaan välittömästi kirjoittaa osamurroksi:
> | Y2:=1/(s^2+1)-1/(s^2+9); |
> | normal(%); # Tarkistus: |
Siten y2(t) on kahden sinitermin summa, tarkemmin sanottuna:
> | y2:=unapply(IL(Y2,s,t),t); |
Niinpä lopputulos on
.
> | y:=t->y1(t)+y2(t)+y2(t-Pi)*u(t-Pi); |
> | y(t); |
Tämä kelpaa vastaukseksi. Voidaan helposti kirjoittaa käsin "piecewise"-muotoon ja vielä helpompaa on antaa homma Maplelle:
> | convert(%,piecewise); |
> | r:=8*sin(t)*(1-u(t-Pi)): |
> | plot([r,y(t)],t=0..2*Pi,legend=[Heräte,Vaste],color=[red,blue],axes=boxed); |
3.
> | restart: |
> | #read("/p/edu/mat-1.414/maple/v302.mpl"): read("c:\\usr\\heikki\\s02\\v302.mpl"): #read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v302.mpl"): |
> | f:=x->piecewise(x > 0 and x < 1,1/2*x,x > 1 and x < 2, 1/2*(2-x)); |
> | fo:=paritonjatko(f): |
> | Jfo:=JJ(fo,-2..2): |
> | plot(Jfo,-4..4); |
Tässä (a)-kohdan vastaus.
(b)
Kyseessähän on sinisarja.
> | L:=2: |
> | bn:=Int(x/2*sin(n*Pi*x/L),x=0..1)+Int(1/2*(2-x)*sin(n*Pi*x/L),x=1..2); |
Ehkäpä tuo sieventämistä koskeva vihje ei ollut kovin osuva, jos kohta tuskin kovin haitallinenkaan (toivottavasti).
Tarkoitus oli lähinnä sanoa, että suorita vain yksi osittaisintegrointi ja sijoita tulokseen vuorollaan ao. rajat
> | u:=x: dv:=sin(n*Pi*x/L); |
> | du:=1: v:=int(dv,x); |
> |
Kaikki integroinnit on nyt tehty, tarvitsee vain sijoittaa rajat. Nuo (subs - subs)-kaavat merkitsevät sijoitusta
integraalifunktioon, jota siis pystyviivalla merkitään.
> |
|
> | bn:=trigsiev(bn,n); |
> | seq(bn,n=1..10); |
> | osasumma5:=add(bn*sin(n*Pi*x/L),n=1..5); |
> | plot([fo(x),osasumma5],x=-2..2,color=[gray,blue]); |
Koska pariton 4-jaksoinen laajennus on jatkuva kaikkialla ja kaikkialla ovat op. ja vp. derivaatat olemassa, niin yleisen
suppenemislauseen mukaan sarja suppenee kaikkialla.
4.
Tämä tehtävä on oppikirjatehtävä, jossa KRE-kirjan/prujun L18aalto.pdf mukaan etenemällä päästään ratkaisuun,
jossa -kertoimina ovat tehtävän 3 -kertoimet.
Saatan kirjoitella tästä vielä malliratkaisun, ehkä suoraan Latex->pdf-muotoon.
Laitan nyt tämän mws->html:n ensin näkyviin tällaisenaan