V3-tentti 27.1.2003 tulokset ============================ Tentistä pääsivät läpi: opno pisteet arvosa 54222T 64520 = 17 2 57358U 41261 = 14 1 54214J 56310 = 15 2 Muiden neljän yhteispisteet olivat: 9,9,9,8 Jos haluatte tietää tehtävittäin, vastaan mailiin. (Liekö hätävarjelunliioittelutietoturvatoimintaa?) Pisterajat: 0 - 11 0 12 - 14 1 15 - 18 2 19 - 21 3 22 - 25 4 26 - 30 5 Paperit ovat nähtävissä huoneessani U328 to 6.2. klo 9.30 - 10. ======================= (Huom! Muutos aiemmin ilmoitettuun, kuten mailissa jo selvitin.) Heikki Apiola PS Jos aika on jollekulle huono, niin sovitaan maililla yksilöllisesti. Pikakommentit: (Ratkaisut tarkempine kommentteineen viimeistään ma 3.2.) -------------------------------------------------------------------------- Teht. 1: Ei pikakommentteja ------- Teht. 2: Tarkoitus oli antaa helppo "lahjatehtävä". Ortogonaalisuudesta sai -------- yhden lohdutuspisteen. Valitettavasti vain yksi oikea ratkaisu. Ratkaisu on kaikessa koruttomuudessaan: -------------------------------------------------------------------------------- y*=e1+e2, missä {e1,e2} ortonormaali. Tarvitsee siten vain normeerata valmiiksi ortogonaaliset vektorit v1 ja v2. Kaava on silloin y*=(/)v1+(/)v2 v1:n kertoimeksi saadaan: 6/12 = 1/2 ja v2:n 6/4=3/2 ja yhdistämällä: y*=[3,-1,1,-1]^T --------------------------------------------------------------------------------- Teht. 3 ------- (a) oli osattu suht. hyvin (yksi positiivinen palautekommentti tehtävästä)) Kuva (1,1) lam1>0, lam2>0, epästabiili (lähde), om. vekt. [4,2] ja [-1,1] Kuva (1,2) reaaliset, erimerkkiset, satula, epästabiili, om. v: [4,1] ja [1,1] Kuva (2,1) kompleksiset Reaaliosa < 0, stabiili spiraali (nieluspiraali) Kuva (2,2) kompleksiset, Reaaliosa 0, keskus, heikosti stabiili. (b) Induktio yleensä kyllä, muita sitten ei. Teht. 4 ------- Sama kuin 3:nnen välikokeen tehtävä. Vain yksi kuutonen. Osamurto aiheutti yllättäviä ongelmia. Kyseessä on ehtäväpaperin osamurto-ohjeen tapaus 1. Samahan se nyt on, merkitäänkö muuttujaa x:llä vai esim. s=x^2, eikö vain? Siinä ei tarvitse muuta kuin kirjoittaa kahden termin erotus, laventaa takaisin samannimisiksi, ja tehdä mahdollinen korjaus kertoimissa. (Tässä ei mitään korjausta.) Tämän tyylin olen näyttänyt pariinkin kertaan luennolla. Jotkut ovat kylmästi jättäneet huomiotta ehdon 0, kun t > pi. Se riisuu olennaisia piirteitä ratlaisusta, kuten koko t-siirtolauseen. Paljoa ei tuosta voi antaa. Yksi ratkaisu tähän liittyen oli yritys jakaa tehtävä osiin. Ongelmana tässä on, että sen osan, jossa oikea puoli = 0, alkuehto menee vikaan. Tehtävän voi ratkaista näin, mutta ei puhtaasti Laplace-tekniikalla, pitää hakea HY:lle yleinen ratkaisu ja määrätä vakiot niin, että liitoskohdassa t=pi saadaan jatkuvasti derivoituva ratkaisu. (Aika työlästä, mutta toki olisin hyväksynyt.) Teh. 5 ------ Jos kuva oli oikein ja kaavat ja perustelut (an=0), annoin max 3 p. Minulle oli suuri yllätys, että kukaan ei osannut integroida. Ajattelin vihjeen riittäväksi Kaavoista sin(alpha+beta)=... sin(alpha-beta)=... saadaan heti yhteenlaskemalla sin(alpha)cos(beta) sin(alpha+beta):n ja sin(alpha-beta):n avulla ja integrointi sujuu ilman mitään vaivoja. Tämä sama tekniikka on käytössä aivan perustilanteessa, kun johdetaan Fourier- sarjan kertoimien lausekkeet. Ajattelin, että tämä olisi oikein onnistunut tehtävä ja kerrankin sellainen, jossa integrointi ei ole työlästä. Näköjään teorian lukeminen ei ole ollut oikein ohjelmassa, tavallaan hienointahan tässä on juuri noiden kertoimien lausekkeiden tipahtaminen (ortogonaalisuuden ansiosta, Euler v. 1777) (Tuntuu taas siltä, että Maol:in taulukoiden haitallinen,"matemaattista käsityötaitoa" tuhoava vaikutus on näkyvillä.)