Luento 7
25.9.01

2. kertaluvun lineaariset diffyhtälöt

KRE CH 2 s. 64 ->

Yhteenvetoa 1. kertaluvusta

Lineaariset	Epälineaariset
(EHY) y' + p(x)y = r(x) (HY):n yleinen + (EHY):n erityinen Integroiva tekijä johtaa aina ratkaisuun E₁ helppo, perustuu ratkaisukaavaan, luonteeltaan globaali	Analyyttisia menetelmiä vain erikoistapauksissa: Separoituva Bernoulli (ohimennen) Eksaksi+integroiva tekijä (yleissivistäen) E₁ matemaattisesti vaativa, tulos "vain" lokaali (silti hyvin merkittävä tulos). Turvauduttava useimmiten numeerisiin menetelmiin.

Lineaariset

Epälineaariset

   (EHY)  y' + p(x)y = r(x)

(HY):n yleinen + (EHY):n erityinen
Integroiva tekijä johtaa aina ratkaisuun
E₁ helppo, perustuu ratkaisukaavaan, luonteeltaan globaali

Analyyttisia menetelmiä vain erikoistapauksissa:
- Separoituva
- Bernoulli (ohimennen)
- Eksaksi+integroiva tekijä (yleissivistäen)
E₁ matemaattisesti vaativa, tulos "vain" lokaali (silti hyvin merkittävä tulos).
Turvauduttava useimmiten numeerisiin menetelmiin.

2. kertaluvun lineaaristen motivaatiota

Rikas teoreettinen rakenne, jonka ymmärtämiseen tarvitaan vain vähäinen annos matemaattista taustaa: (diff(exp(x),x) ja 2. asteen yhtälön juurien ominaisuudet. (Tämä koskee tarkkaan ottaen vain vakiokertoimisia.)
Olennainen työkalu kaikessa vakavahenkisessä matemaattisessa fysiikassa. Erityisesti käsittelemme
- mekaanisia värähtelyjä
- sähköisä värähtelypiirejä
Hyvä pohja ja perusmalli lineaarialgebran käsitteistön mukaanoton johdattelulle.

2.1 Lineaarinen homogeeninen

  (EHY)  y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)
  (HY)   y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Kaikki muut ovat epälineaarisia.

function yyp=ydy(x)
y=exp(x)+3*exp(-x);
dy=exp(x)-3*exp(-x);
yyp=[y' dy'];

y=inline('exp(x)+3*exp(-x)','x')
dy=inline('exp(x)-3*exp(-x)','x')


» ydy(0)

ans =

     4    -2

» ydy(1)

ans =

    3.8219    1.6146

» ydy(1)

ans =

    3.8219    1.6146

» ydy(1:5)

ans =

    3.8219    1.6146
    7.7951    6.9831
   20.2349   19.9362
   54.6531   54.5432
  148.4334  148.3929