Luento 36 (viimeinen)

to 29.11.2001 HA

> restart:with(plots):with(combinat):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected name Chi has been redefined and unprotected

> jana:=(x,y)->plot([[x,0],[x,y]],thickness=3,color=blue):

> #plots[display]([seq(jana(n,f(n)),n=1..6)],axes=box);

Tunnuslukuja

Diskreetti:

> Ediskr:=(x,p)->sum(x[j]*p[j],j=1..nops(x));

> x:=[$1..6];p:=[1/6$6];Ediskr(x,p);evalf(%);

> plots[display]([seq(jana(k,p[k]),k=1..nops(p))],axes=box);

Diskreettejä jakaumia

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> with(plots):with(combinat):jana:=(x,y)->plot([[x,0],[x,y]],thickness=3,color=blue):

Warning, the protected name Chi has been redefined and unprotected

Binomijakauma

> f:=(k,n,p)->binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k);

> Bjakauma:=(p,n)->seq(jana(k,f(k,n,p)),k=0..n):

> display([Bjakauma(0.5,6)]);

> display([Bjakauma(0.5,6)]);

> display([Bjakauma(0.2,10)]);

>

> display([Bjakauma(0.8,10)]);

Katsotaan tätä kohta uudestaan:

> #display([Bjakauma(0.01,100)]); # Tietenkään ei saada hyvää.

> #n:=100: p:=0.01: display(seq(jana(k,f(k,n,p)),k=0..6));

Poissonin jakauma

> g:=(x,mu)->mu^x/x!*exp(-mu);

> Pjakauma:=(mu,n)->seq(jana(k,g(k,mu)),k=0..n):

> display([Pjakauma(2,10)]);

KRE Exa 2 s. 1081: Valmistetaan ruuveja, viallisen tod p=0.02. Laatikossa 100 ruuuvia. Olkoon X viallisten lkm.

P(X > 2) = ?

Lasketaan 1 - P(X <= 2)

> f:=(k,n,p)->binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k); # Kuten yllä.

> todbinomi:=1-Sum(f(k,100,p),k=0..2); value(subs(p=0.01,%));

Verrataan Poissoniin. np=1, eli .

> todpoisson:=1-Sum(g(k,1),k=0..2); value(%);evalf(%);

Verrataan jakaumia (pitkälle ei kannata piirtää).

> display([Pjakauma(1,6)]);

> n:=100: p:=0.01: display(seq(jana(k,f(k,n,p)),k=0..6));

Jatkuvia jakaumia

Normaalijakauma

> f:=x->1/(sigma*sqrt(2*Pi))*exp(-1/2*((x-mu)/sigma)^2);

>

> #?erf;

Normeeratun normaalijakauman kertymäfunktio voidaan lausua (käsin laskien) erf:n avulla:

> Phi:=x->1/2+1/2*erf(x/sqrt(2));

> plot(Phi,-5..5);

Normeerattu tiheysfunktio:

> phi:=x->1/sqrt(2*Pi)*exp(-x^2/2);plot(phi,-5..5);

> Phi(2.44);evalf(%);

> display(plot(phi,-5..5),jana(2.44,phi(2.44)));

Normaalijakauman kertymäfkt. F ja tiheysfkt. f saadaan:

> F:=x->Phi((x-mu)/sigma);f:=x->phi((x-mu)/sigma)/sigma;

> mu:=0.8;sigma:=2:

> F(2.44);evalf(%);

> display(plot(f,-5..7),jana(2.44,f(2.44)));

Jakauman ominaisuudet saadaan normalisoidusta muodosta:

> evalf(Phi(1)-Phi(-1)); evalf(2*Phi(1)-1); # Varmennettiin identiteetti.

> seq(evalf(Phi(k)-Phi(-k)),k=1..3);

Tässä verifioitiin KRE s. 1087 kaavat (a), (b), (c).

> display(plot(phi,-3..3),jana(1,phi(1)),jana(-1,phi(-1)));

Mitä väliä vastaa annettu todennäköisyys?

> yht:=2*Phi(s)-1=pp;

> pp:=0.95:kerroin1:=fsolve(yht,s);

> pp:=0.99:kerroin1:=fsolve(yht,s);
pp:=0.999:kerroin3:=fsolve(yht,s);

Väli on

[mu-kerroin,mu+kerroin

> restart:[mu-kerroin*sigma,mu+kerroin*sigma];

Warning, the name changecoords has been redefined

>

Esim. 4 s. 1089

> restart:Phi:=x->1/2+1/2*erf(x/sqrt(2));

Warning, the name changecoords has been redefined

> sigma:=0.008;

> tol:=0.02: kerroin:=tol/sigma;

> evalf(2*Phi(kerroin)-1);

> kerroin:=fsolve(2*Phi(kerr)-1=0.96,kerr);

> [2-kerroin*sigma,2+kerroin*sigma];

> kerroin*sigma;

>