Luento 2 ke 12.9.

Maailma musteni, kun tornit sortuivat.
Boyce - DiPrima: Diff. equ, hyvä diffisyhtälökirja, Mat. kirjaso V2/3-hylly
[HAM]-tarjous onnistui pienen taivuttelun jälkeen.

Luento- ja harj.ajat ensi viikosta alkaen: ti ke to pe L 10.15-12 10.00-11.40 10.00-11.40 H 12.20-14 12.20-14 10.15-12

Differentiaaliyhtälöt

Kolme käsittelytapaa

• Analyyttinen, teknisesti samanhenkistä toimintaa kuin integroiminen.
• Numeerinen, diskretoidaan.
• Kvalitatiivinen, tehdään geometrisluonteisia johtopäätöksiä suoraan differentiaaliyhtälöstä, ratkaisematta sitä. Opitaan "lukemaan" suuntakenttää.

Käytiin KRE-kirjasta ss. 14 - 20

• Ch 1.3 ss. 14-18, Muuttujien erottelu "separation of variables"

  y'=f(x)g(y)

  Johdettiin KRE-esitystä matemaattisemmin:
  

      Olk. y(x) ratkaisufunktio. Olk. x0 reaaliluku ja y0=y(x0).
      Jos g(y0)=0, niin vakiofkt. y=y0 on ratk. Ellei, jaetaan g(y(x)):llä.
  
                                 y'(x)
                                ------- = f(x)
                                g(y(x))
  
      Integroidaan ja suoritetaan muuttujanvaihto y(x)=u. Palataan
      muuttujaan y.
    
      Saadaan implisiittinen muoto: H(x,y)=C. Joskus voidaan ratkaista y(x),
      joskus x(y), joskus ei kumpaakaan.
       

  Separoituvaan palautuvia: y'=f(y/x).

  Sij. y(x)=x u(x). Tällä muuntuu separoituvaksi

• Ch 1.4 ss. 19-24 Separoituvaan johtavia mallinnusesimerkkejä

  Seosongelma

  
  
                 --------|                    |
    Suolaliuosta 2 l/min ->                   |
     2 kg/l      ---------                    |
                         |.................. .|
                         |                    |
     alussa: 40 kg suolaa|    200 l           |
                         |                    -------------
                         |                      5 l/min ->
                          ---------------------------------
      y(t): suolamäärä hetkellä t.
      
        y'=10 - y/40
        y(0)=40
  
  Ratkaistaan Maplella:
  
  > dyht:=diff(y(t),t)=10-y(t)/40;
                                 d
                         dyht := -- y(t) = 10 - 1/40 y(t)
                                 dt
  
  > infolevel[dsolve]:=3:       # vrt. [HAM] s. 167
  > dsolve({dyht,y(0)=40},y(t));  
  Methods for first order ODEs:
  Trying to isolate the derivative dy/dt...
  Successful isolation of dy/dt
  -> Trying classification methods
  trying a quadrature
  trying 1st order linear
  1st order linear successful   # Maple ei käyttänytkään separoituvuutta,
                                # vaan lineaarisuutta.
                          y(t) = 400 - 360 exp(- 1/40 t)
  
  > infolevel[dsolve]:=0:         
  > dsolve({dyht,y(0)=40},y(t));  
                          y(t) = 400 - 360 exp(- 1/40 t)
  
  > Y:=subs(%,y(t));              
                           Y := 400 - 360 exp(- 1/40 t)
  
  > plot(Y,t=0..200);             
  
  400                                                 ......................... 
    +                                    ..............                         
    +                             .......                                       
  350                        ......                                             
    +                     ....                                                  
  300                  ....                                                     
    +               ...                                                         
    +              ..                                                           
  250            ..                                                             
    +          ..                                                               
    +         ..                                                                
  200       ..                                                                  
    +      ..                                                                   
    +     ..                                                                    
  150    ..                                                                     
    +   ..                                                                      
    +  .                                                                        
  100 ..                                                                        
    +..                                                                         
  50+.                                                                          
    *+-++-++-++-++-++-++-++-++-++-++-++-+++-++-++-++-++-++-++-++-++-++-++-++-++ 
    0     20      40     60      80     100    120     140    160     180    200
  > 
  
  

  Havaintoja:
  • Sisään tuleva suolapitoisuus: 2 kg/l > alkup. suolapit.: 40/200 = 1/5 kg/l ==> y(t) kasvaa.
  • Jos jatketaan ikuisesti, niin suolapitoisuus -> sisääntulevaa suolap.
  • Tasapainotila: y'=0. Suoraan diffyhtälöstä:

         > solve(10-y/40=0,y);
                                       400
         eli suolapitoisuus on 400/200 = 2 kg/l