Välikokeet ja tentit

Välikoe 1 ti 16.10.01

Koealue

• Kaikki, mitä luennoilla on käyty luennon to 11.10 loppupuolelle saakka
• Harjoitukset 1 -- 4 (niin alku- kuin loppuviikko).

Luentomateriaalia

Harj. teht. ja ratk.

Kirjat

Luettelo aiheista kirja- ja www-viitteineen

1. Ensimmäisen kertal. diffyhtälöt

• KRE-kirjan luku 1: Kaikki muut paitsi 1.5 (exact), 1.7 (Electrical), 1.8 (Orth. traj.) Pykälästä 1.6 jää pois Bernoullin yhtälö. Jos tulisi tehtävä, joka ratkeaa sopivalla muuttujanvaihdolla, niin se annetaan.
• www-sivuja : L1    L2    L3    L4   

2. Numeerisia menetelmiä

• KRE-kirjan luku 19 Pykälä 19.1. Osattava Eulerin menetelmä ja tunnettava sen virhekäyttäytyminen (O(h)). Jos muita menetelmiä kysytään, niin kaavat annetaan. Ikävä kyllä jätämme virhearvioiden johtamisen ja stabiilisuuskysymykset harjoitustehtävien varaan, emmekä siis niitä nyt kysele.

3. Toisen kertaluvun lineaariset dy:t

• KRE-kirjan luku 2 Ei 2.4 (Diff. oper.), 2.6 (Euler-Cauchy), 2.7 (olemassaolo, Wronski), 2.10 (var. of pars.), 2.12 (el circ), 2.13 - 1.15 (higher order)
  Siis kaikki muut.
• www-sivuja : L7    L9   

4. Lineaarialgebraa

• KRE-kirjan luku 6 Kyllä: 6.3, 6.4, 6.5, 6.8 vektoriavaruudet: LRT/LRV, kanta otetaan laajemmin, ei lineaarikuvauksia, sisätuloja ym.
• LAODE Ch 5 Vector Spaces Tämä kokonaan. Täydentää mukavasti KRE-esitystä, osittain päällekkäistä. Erityisesti vektoriavaruusasiat, kuten kannat, dimensiot ym. on tässä paljon tarkemmin. Enpä tästä osaa mitään suositella pois jätettäväksi. Asiaa on vähemmän kuin sivumäärästä luulisi.
• www-sivuja : L11    L13    (Ei kysellä determinantteja, käänteismatriisia, lineaarikuvauksia,ym. tämän sivun kohtaan Neliömatriisit saakka.)

• KRE = KRE⁸. (Aikaisemmatkin painokset käyvät, mutta sivu- ja kappalenumerot viittaavat 8-painokseen.)
• LAODE

Koealue

• Kaikki, mitä luennoilla on käyty luennon to 8.11 loppuun saakka.
• Harjoitukset 5 -- 8 (niin alku- kuin loppuviikko). Harjoituksen 5 aiheista ei kysellä LU-hajoitelmaa ja vastaavia. Ainoa kokeeseen kuuluva harj5-aihepiiri on normit ja häiriöalttius .

Huomaa harjoitustehtäväpaperien oppi-evästys-ja linkkilistat
Ne kertovat aika paljon, kaikkea niissä olevaa ei ehkä tarvitse tässä edes toistaa.

Luettelo aiheista kirja- ja www-viitteineen

1. Numeerista lineaarialgebraa

KRE 18.4 Linear systems: Ill-conditioning, Norms ss. 906-913. Vektori- ja matriisinormit, häiriöluku, (SVS) eli suhteellisen virheen suurenemisepäyhtälö (Kaavat (16) ja (17) s. 912). Kaavojen johtamista ei tarvitse osata, mutta merkityksen ymmärtäminen ja laskuesimerkin suorittamistaito.

2. Ominaisarvot ja -vektorit (kertausta)

KRE Ch. 7.1, 7.5 osittain. Osattava peruslaskut (myös kompleksiluvuilla), ja käsitteet, kuten algebrallinen ja geometrinen kertaluku. Matriisin diagonalisointi. (Ominaisarvotehtävää tuskin tulee itsenäisenä, luultavasti se on osa diffyhtälösysteemilaskua.)

3. Lineaariset diffyhtälösysteemit, e^{t A}

• KRE Ch3: (3.0 on ominaisarvokertaus)
  3.1, 3.2 (ss. 159 - 161 (Wronskiin saakka))

  Wronskin determinantteja ei siis vaadita, mutta saa niitä toki käyttää, jos tuntee tarvetta. Osattava todistaa olemassaolo-ja yksikäslauseen avulla, että (HY):n ratkaisuavaruuden dimensio = n (Jos on n x n -systeemi.)

  3.3 (HY, Phase Plane, Critical points)

  Osattava päätellä ominaisarvojen avulla krittisen pisteen tyyppi ja stabiilisuus. Kompleksisten ominaisarvojen tapauksessa sin/cos-yhdistelmäkaavaa ei tarvitse muistaa. (Joko kaava annetaan, tai sitten laskeminen käy kohtuullisella vaivalla kompleksimuodossa tai vaikka suoraan expm-funktion avulla, tms.) Jos ominaisvektori puuttuu, niin suositeltava tapa on muodostaa e^{t A} . Saa toki laskea myös KRE-kirjassa neuvotulla tyylillä.

  3.4 Criteria for critical points, stability.

  Ei ole syytä vedota siihen, että "p":n ja "q":n relaatio on sitä-ja-sitä. Primäärinen syy on ominaisarvoissa ja se on syytä tuoda esille. Älä siis opettele ulkoa mitään "pq-ehtoja" KRE-kirjan luvun 3.4 tapaan.

  3.5 Qualitative methods for non-linear syst.

  Kriittiset pisteet, linearisointi Jacobin matriisin avulla (tätä ei ole kunnolla KRE-kirjassa), mutta kts. vaikka vain Harj. 7 ohjetekstiä, Myös LAODE. Osattava selostaa johonkin tavalliseen ilmiöön, kuten heiluriin, jänis/kettu-tapaukseen tms. liittyvän faasipiirroksen yhteys mallin käytökseen.

  3.6 Nonhomog. Linear Syst.

  Matriisimuotoisen "vakioiden varointikaavan" (Harj. 6 LV teht. 5) soveltaminen. Kaavaa ei tarvitse opetella, vaan se annetaan. Toki saa ratkaista myös diagonalisoimalla, jos se on mahdollista.

  4. Laplace muunnokset

  5.1 - 5.3 kokonaan, (5.4 jää väliin), 5.5, (5.6 väliin, osamurtokehitelmistä annetaan tarvittavat muodot harj 7 tyyliin.)
  5.7., myös e^{t A} :n Laplace-muunnos ja systeemin ratkaisu matriisimuodossa. (Vrt. harj. 8 LV teht. 4)

  Kokeissa jaetaan Laplace-taulukko ja joukko peruskaavoja.

• LAODE
• (www)-prujuja (kts. myös harj. tehtävien linkit):
  • Luentohakemisto
  • L17: Faasitasoja, linkkejä DYS-asioihin
  • 4 luennolla jaettua sivua Diracin deltasta: s. 1    s. 2   s. 3   s. 4
  • expm:n Laplace-muunnos: s. 1s. 2 s. 3

Eiköhän tämä nyt ole kutakuinkin valmis. Pientä viimeistelyä voi tulla vielä huomenna (pe 9.11.).

• KRE = KRE⁸. (Aikaisemmatkin painokset käyvät, mutta sivu- ja kappalenumerot viittaavat 8-painokseen.)
• GLJ = Glyn James

Z-muunnoksista jaettiin GLJ-tekstiä prujuina. Jos olet jäänyt niitä paitsi, kannattaa hankkia GLJ-kirja lainaksi tai mainitut prujut.

Koealue

• Kaikki, mitä luennoilla on käyty 2. välikokeen jälkeen (eli Z-muunnosten alusta saakka).
• Harjoitukset 9 -- 12 (niin alku- kuin loppuviikko).
• Alueiden painotukset: 1 tehtävä Fourier-sarjoista, 1 tehtävä aihepiiristä Z-muunnokset ja differenssiyhtälöt, 2 tehtävää todennäköisyyslaskennasta.

Tarkempi luettelo

1. Z-muunnokset ja differenssiyhtälöt

• [GLJ] Luvun 3 pykälät 3.1 - 3.5 ss. 217 - 244
• Differenssiyhtälön käsittely yritteen avulla (aivan perustapaus vain), vrt. Harj. 9 teht. 7.
• Differenssiyhtälön esitys matriisimuodossa harj. 9 teht. 9 tapaan.

2. Fourier-sarjat

• Osattava soveltaa suppenemislausetta myös sopivasti valitussä pisteessä jonkin hauskan sarjaesityksen muodostamiseksi, vaikkapa pi:lle. (Yksinkertainen perustapaus ilman harj10:n teht. 4:n integrointikomplikaatioita.)
  Suppenemislauseesta riittää perusajatus jatkuvuus/epäjatkuvuuspistekäyttäytymisen suhteen. (Jos paloittain jatkuva derivaatta ei mene ihan kohdalleen, niin ei haittaa, kunhan on yritetty.) Samoin Gibbs'n ilmiön selostus.
  GLJ:n suppenemislauseissa olevia Dirichlet'n ehtoja ei kannata noteerata, KRE-kirjassa helpommat ehdot (kuten luennolla).
  (Tunnetaan useita erilaisia riittäviä ehtoja, KRE-kirjassa mainitut ovat yksinkertaisempia.)
• Parittoman ja parillisen laajennuksen ymmärtäminen (ja laskutaito).
• Osattava operoida myös kompleksimuotoisella Fourier-sarjalla (kaavat annetaan). Myös reaalisen ja kompleksisen välinen yhteys.
• Ei kysellä: harj. 10 teht. 9 tai 10 tyylisiä (siihen ei yksinkertaisesti koeaika anna myöten).

3. Todennäköisyyslaskenta