\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}

\begin{document}

\subsection*{Mat-1.415 Matematiikan peruskurssi V3, s 2001} 
\hfill Apiola

\subsubsection*{3. v�likoe 13.12. 2001 }

\textbf{Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat 
jokaiseen vastauspaperiin!}
\vspace{0.5cm}

{\bf Sallittu: funktiolaskin }


\begin{enumerate}


\item
Olkoon $f(t)=t$, kun $t\in [-1,1)$, laajennettuna 2-jaksoisena koko
$\R $:��n.
(a) Piirr� funktion kuvaaja v�lill� $\lbrack-3,3\rbrack$ ja ilmoita
(jo ennenkuin alat laskea), onko Fourier-sarjassa pelkki� sinitermej�,
pelkki� kosinitermej� vai molempia.\\
(b) Laske Fourier-kertoimet ja kirjoita sarja niin siev��n muotoon
kuin osaat.\\


\item
(a)
Laske m��ritelm�n perusteella vakiojonon $x_k=1, k \ge 0$ Z-muunnos ja
sen ja sopivien kertos��nt�jen avulla (ei siis taulukosta katsomalla) 
${\cal Z}\lbrace 2^k \rbrace$ ja
${\cal Z}\lbrace k 2^k \rbrace$. 
(Kertos��nn�t l�ytyv�t teht�v�paperista.)

(b) M��rit� impulssivaste, eli Z-siirtofunktio, eli ratkaise 
differenssiyht�l�
$y_{k+2}-5 y_{k+1} +6 y_k = \delta_k$, $y_0=0, y_1=0, $ 
miss� $\delta$ on yksikk�impulssi, eli
$\delta=(1,0,0,0, \ldots) $

(c) 
Kirjoita funktion 
$X(z)=\frac{3z+z^2+5z^5}{z^5}$ 
k��nteismuunnos.

\item
Uurnassa on 5 punaista, 6 sinist� ja 9 valkoista palloa.
Nostetaan per�kk�in 
ilman takaisinpanoa (``pois heitt�en'')
2 palloa tapauksessa (a) ja 3 palloa tapauksessa (b).

Mik� on todenn�k�isyys saada  \\ 
(a) 2 punaista palloa,
(b) 2 sinist� palloa.

\item
Olkoon $\Phi$ normaalijakauman normeerattu kertym�funktio.

Osoita, ett� \\(a) $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$, \\ (b) 
$\Phi(x)=\frac{1}{2}(1+\textit{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}}))$ .
(Lue teht�v�paperin kaavat ja huomaa my�s (c)-kohta. )

(c) Oletetaan, ett� rautalevyjen valmistusprosessissa syntyvien levyjen paksuus
$X$ on normaalijakautunut, $\mu=10$ mm ja $\sigma=0.02$ mm.
Miten tulee valita ``hylk�ysraja'' $c$,  jotta hyl�tt�vien osuus olisi 
korkeintaan $4$\%. (Hyv�ksyt��n v�li $[\mu-c,\mu+c]$.)
Saat k�ytt��si Maple-komennon:
\begin{verbatim}
> fsolve(erf(y)=0.96,y);
                                 1.452219782
\end{verbatim}

\end{enumerate}

\subsection*{Z-muunnokset}

\paragraph*{M\"a\"aritelm\"a: }
Annettu jono $(x_k)$, ${\cal Z}\lbrace x_k\rbrace = X$, 
$X(z)=\sum_{k=0}^\infty x_k z^{-k}$. 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$(x_k)$ & $X(z)$ & $(x_k)$ & $X(z)$& $(x_k)$ & $X(z)$ & $(x_k)$ & $X(z)$  
\\ \hline \hline
%\multicolumn{4}{|c|} \\ \hline  
  $(a^k)$ & ${\frac{z}{z-a}}$ & $(k a^{k-1})$ & $\frac{z}{(z-a)^2}$ &
  $\cos k\omega T$ & ${{\frac {\left (z-\cos(\omega\,T)\right )z}{{z}^{2}-2\,z
\cos(\omega\,T)+1}}$& $\sin k\omega T$ 
  &${\frac {\sin(\omega\,T)z}{{z}^{2}-2\,z\cos(\omega\,T)+1}}$ 
\\ \hline 
\end{tabular}
%Viimeinen on
%${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
%\vskip 0.5 cm

${\cal Z} \lbrace x_{k-k_0} \rbrace = z^{-k_0}{\cal Z} \lbrace x_{k} \rbrace ,
\quad {\cal Z} \lbrace x_{k+1} \rbrace = z {\cal Z} \lbrace x_{k}
\rbrace - z x_0, \\  
{\cal Z}\lbrace a^k x_k \rbrace = X(a^{-1}z),
\quad {\cal Z} \lbrace k^n x_k \rbrace = (-z\frac{d}{dz})^n X(z) .$
%,\ \\lim_{x\to \infty}X(z)=x_0  $


\subsection*{Fourier-sarjat}

\subsubsection*{T-jaksoisen funktion Fourier-sarja}

\paragraph*{Reaalimuoto}

Olkoon $f$ T-jaksoinen reaalifunktio, miss� $T=\frac{2\pi}{\omega}$. $f$:n
Fourier-sarjaesitys: \\
$f(t)=\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n\omega t+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin n\omega t$,
miss�

$$a_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\cos n\omega t dt, \ \ n= 0, 1, 2, \ldots $$
$$b_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\sin n\omega t dt , \ \ n= 1, 2, \ldots$$

(Useimmiten kannattaa ottaa $d=-\frac{T}{2}$.)
\paragraph*{Kompleksimuoto}
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$, miss�

$$c_n=\frac{1}{T}\int_d^{d+T}f(t)e^{-i n \omega t}dt,\  \ 
n=0,\pm 1,\pm 2 \ldots$$


\subsection*{Todenn�k�isyyslaskentaa}

{\bf Normaalijakauman tiheysfunktio ja {\it erf}}

$$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$

$${\it erf}(x)=\frac{2}{\sqrt {\pi}} {\int _{0}^{x}\!{e^{-{t}^{2}}}{dt}}
$$

\hrule

Kiitokset nyt viel� kerran vuoden (joidenkin kohdalla $\frac{1}{2}$:n)
mittaisesta yhdess� olostamme
ja kaiken huipuksi $\frac{2\pi}{\omega}-$paidasta pesuohjeineen!

Kiitos l�hett�mist�nne palautteista, odotan viel� mielipiteit� $(n-8)$:lta 
oppilaalta.
%(Sanon t�m�n sill�kin uhalla, ett� joudun jankuttajan maineeseen.)
Laitan palautevastaukset kurssisivullemme ja p��lle p��tteeksi omat
kommenttini entiseen tapaan kurssin lopulliseksi paketoimiseksi.

Oikein hyv�� joulun aikaa ja tulevia vuosia, t. 
${\cal H}\varepsilon \iota \kappa \kappa \iota$

\end{document}


\item
Ratkaise differenssiyht�l� $y_{k+2}+4y_k=\delta$, $y_0=1, y_1=2$,
miss� $\delta$ on yksikk�impulssi: $\delta_0=1, \delta_k=0$, kun $k>0$.
%Stabiili? 
Saata ratkaisu muotoon, josta n�kyy ett� kyseess� on reaalilukujono.



\item 
\kohta{a}{
Muodosta Heavisiden funktion $u(t-a)$ Fourier-sarja v�lill� $[-L,L]$,
kun $a\in [-L,L]$.
        }
\kohta{b}{
Osoita, ett� funktioiden $f$ ja $g$ lineaarikombinaation Fourier-
kertoimet ovat vastaavien Fourier-kertoimien lineaarikombiaatioita.
       }
\kohta{c}{
Muodosta a)- ja b)-kohtien avulla funktion 
$$f(x)=\begin{cases}
     1,  x\in [0,1] \vee x\in [2,3] \\
     0,   x\in [1,2] \end{cases}$$
parillisen laajennuksen Fourier-sarja.

       }


\item
Muodosta funktion $f(t)=|\sin t| \ \ $ Fourier-sarja. Piirr� $f$:n kuvaaja v�lill�
$\lbrack -\pi,\pi \rbrack$ ja hahmottele sarjan osasumman $s_1$ 
kuvaaja samalla v�lill�. Osasumma $s_1$ koostuu termeist�, joiden indeksit 
ovat $-1,0,1$, kun k�ytet��n kompleksista esitysmuotoa.

Ev�stykseksi:
\begin{itemize}
\item
Laskuty�n voi minimoida k�ytt�m�ll� kompleksimuotoista esityst�. Kannattaa
my�s mietti�, mik� on funktion jakso.
\item
Hahmottelua varten riitt�� laskea osasumman arvot vaikkapa 
pisteiss� $t=0$ ja $t=\pi/2$ ja hy�dynt�� jaksollisuutta.)



\end{itemize}


\item
{\bf Huom!} T�m� teht�v� ei sis�ll� varsinaisesti yht��n laskentaa, 
�l� tuhlaa aikaasi integrointitekniikkaan.

Olkoon $f(t)=t$, kun $ t\in \lbrack 0,1 \rbrack$. 

a) Piirr� $f$:n parillisen laajennuksen $f_e$ ja parittoman laajennuksen $f_o$ 
jaksolliset 
laajennukset (jaksona $2$)
 v�lill� $ \lbrack -2,2 \rbrack$. (Alaindeksit e ja o viittavat sanoihin ``even'' ja ``odd''.)

b) 
Mit� termej� esiintyy $f_e$:n ja $f_o$:n reaalimuotoisissa Fourier-sarjoissa ?
Perustelu parillisuus/parittomuus-p��ttelyll�.

c) 
Selvit� kummankin sarjan suppeneminen: Miss� pisteiss� sarja suppenee kohti
funktion arvoa ja miss� (jos miss��n) jotain muuta ja mit� silloin?

d) Selvit�, mit� tarkoittaa {\em Gibbsin ilmi�}, ja esiintyyk� se jommassa 
kummassa (tai mahd. molemmissa) tapauksissa jossain kohdassa.

%e) Suppeneeko $f_o$:n sarjaa integroimalla 
%saatava sarja 


\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{T-jaksoisen funktion Fourier-sarja}

\paragraph*{Reaalimuoto}

Olkoon $f$ T-jaksoinen reaalifunktio, miss� $T=\frac{2\pi}{\omega}$. $f$:n
Fourier-sarjaesitys: \\
$f(t)=\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n\omega t+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin n\omega t$,
miss�

$$a_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\cos n\omega t dt, \ \ n= 0, 1, 2, \ldots $$
$$b_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\sin n\omega t dt , \ \ n= 1, 2, \ldots$$

\paragraph*{Kompleksimuoto}
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$, miss�

$$c_n=\frac{1}{T}\int_d^{d+T}f(t)e^{-i n \omega t}dt,\  \ 
n=0,\pm 1,\pm 2 \ldots$$


\subsection*{Osamurtokehitelm�t}

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, miss� $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s-a$, otetaan kehitelm��n termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s^2+bs+c$, tulee kehitelm��n termi
${\frac{Bs+C}{s^2+bs+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\
3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyv�t korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa.

\item
Uurnassa on 10 valkoista, 5 punaista ja 15 sinist� palloa.
Nostetaan per�kk�in 
ilman takaisinpanoa (``pois heitt�en'')
2 palloa tapauksessa (a) ja 3 palloa tapauksessa (b) 

Mik� on todenn�k�isyys saada  \\ 
(a) 2 punaista palloa,
(b) 3 sinist� palloa.










