Mat-1.415 Matematiikan peruskurssi V3, s 2001

Apiola

3. välikoe 13.12. 2001

Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat jokaiseen vastauspaperiin!

Sallittu: funktiolaskin

1. Olkoon f(t) = t, kun t ∈ [−1, 1), laajennettuna 2-jaksoisena koko ℝ:ään. (a) Piirrä funktion kuvaaja välillä [−3, 3] ja ilmoita (jo ennenkuin alat laskea), onko Fourier-sarjassa pelkkiä sinitermejä, pelkkiä kosinitermejä vai molempia.

(b) Laske Fourier-kertoimet ja kirjoita sarja niin sievään muotoon kuin osaat.

2. (a) Laske määritelmän perusteella vakiojonon x_{k} = 1, k ≥ 0 Z-muunnos ja sen ja sopivien kertosääntöjen avulla (ei siis taulukosta katsomalla) Z{2^{k}} ja Z{k2^{k}}. (Kertosäännöt löytyvät tehtäväpaperista.)

(b) Määritä impulssivaste, eli Z-siirtofunktio, eli ratkaise differenssiyhtälö y_{k+2} − 5y_{k+1} + 6y_{k} = δ_{k}, y_{0} = 0, y_{1} = 0, missä δ on yksikköimpulssi, eli δ = (1, 0, 0, 0, …)

(c) Kirjoita funktion X(z) = \frac{3z+z^{2}+5z^{5}}{z^{5}} käänteismuunnos.

3. Uurnassa on 5 punaista, 6 sinistä ja 9 valkoista palloa. Nostetaan peräkkäin ilman takaisinpanoa (“pois heittäen”) 2 palloa tapauksessa (a) ja 3 palloa tapauksessa (b). Mikä on todennäköisyys saada

(a) 2 punaista palloa, (b) 2 sinistä palloa.

4. Olkoon Φ normaalijakauman normeerattu kertymäfunktio.

Osoita, että

(a) Φ(−x) = 1 − Φ(x),

(b) Φ(x) = \frac{1}{2}(1 + erf(\frac{x}{\sqrt{2}})) . (Lue tehtäväpaperin kaavat ja huomaa myös (c)-kohta. )

(c) Oletetaan, että rautalevyjen valmistusprosessissa syntyvien levyjen paksuus X on normaalijakautunut, μ = 10 mm ja σ = 0.02 mm. Miten tulee valita “hylkäysraja” c, jotta hylättävien osuus olisi korkeintaan 4%. (Hyväksytään väli [μ − c, μ + c].) Saat käyttöösi Maple-komennon:

                                                                            > fsolve(erf(y)=0.96,y);
                                                                                                             1.452219782

Z-muunnokset

Määritelmä: Annettu jono (x_{k}), Z{x_{k}} = X, X(z) = ∑_{k=0}^{∞} x_{k}z^{−k}.

(x_{k}) X(z) (x_{k})  X(z)  (x_{k})  X(z)  (x_{k})  X(z)
(a^{k}) \frac{z}{z−a} (ka^{k−1}) \frac{z}{(z−a)^{2}} cos kωT \frac{(z−cos(ω T))z}{z^{2}−2 z cos(ω T)+1} sin kωT \frac{sin(ω T)z}{z^{2}−2 z cos(ω T)+1}

Z{x_{k−k_{0}}} = z^{−k_{0}}Z{x_{k}}, Z{x_{k+1}} = zZ{x_{k}} − zx_{0}, Z\{a^{k}x_{k}\} = X(a^{−1}z), Z\{k^{n}x_{k}\} = (−z \frac{d}{dz})^{n}X(z).

Fourier-sarjat

T-jaksoisen funktion Fourier-sarja

Reaalimuoto Olkoon f T-jaksoinen reaalifunktio, missä T = \frac{2π}{ω}. f:n Fourier-sarjaesitys: f(t) = \frac{1}{2}a_{0} + ∑_{n=1}^{∞} a_{n} cos nωt + ∑_{n=1}^{∞} b_{n} sin nωt, missä

a_{n} = \frac{2}{T} ∫_{d}^{d+T} f(t) cos nωtdt, n = 0, 1, 2, …

b_{n} = \frac{2}{T} ∫_{d}^{d+T} f(t) sin nωtdt, n = 1, 2, …

(Useimmiten kannattaa ottaa d = −\frac{T}{2} .)

Kompleksimuoto f(t) = ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{inωt}, missä

c_{n} = \frac{1}{T} ∫_{d}^{d+T} f(t)e^{−inωt}dt, n = 0, ±1, ±2 …

Todennäköisyyslaskentaa

Normaalijakauman tiheysfunktio ja erf

f(x) = \frac{1}{σ\sqrt{2π}} e^{− \frac{1}{2} ( \frac{x−μ}{σ})^{2}}

erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{x}e^{−t^{2}}dt

Kiitokset nyt vielä kerran vuoden (joidenkin kohdalla \frac{1}{2}:n) mittaisesta yhdessä olostamme ja kaiken huipuksi \frac{2π}{ω} −paidasta pesuohjeineen!

Kiitos lähettämistänne palautteista, odotan vielä mielipiteitä (n − 8):lta oppilaalta. Laitan palautevastaukset kurssisivullemme ja päälle päätteeksi omat kommenttini entiseen tapaan kurssin lopulliseksi paketoimiseksi.

Oikein hyvää joulun aikaa ja tulevia vuosia, t. Hεικκι