\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}

\begin{document}

\subsection*{Mat-1.415 Matematiikan peruskurssi V3, s 2001} 
\hfill Apiola

\subsubsection*{2. välikoe 13.11. 2001 }

\textbf{Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat 
jokaiseen vastauspaperiin!}
\vspace{0.5cm}

{\bf Sallittu: funktiolaskin }


\begin{enumerate}


\item
Olkoon
$A=\left [\begin {array}{cc} 2&1.4\\
                            1.4& 1 \end {array}\right ]. $

Laske $A$:n häiriöluku  
$\norm{.}_1$:n  suhteen.
 Ratkaise lineaariset yhtälösysteemit $A x=b$
ja  $A \tilde x=\tilde b$, missä $b=(1.4,1)$ ja $\tilde b=(1.44,1)$.
Laske (SVS):n (Suhteellisen virheen suurenemisepäyhtälön) molemmat puolet ja 
vertaa. Huom! Riemunkiljahduksia ei pidä päästellä sen perusteella, että
epäyhtälö toteutuu, vaan vasta silloin (ja silloinkin hillitysti), kun osaat 
nähdä häiriöalttiuden suuruusluokaltaan realistisena mittana suhteellisen 
virheen kasvulle.

Muista: $\norm{x}_1=\sum |x_i|$ ja vastaava matriisinormi lasketaan
sarakesummia käyttäen.

Voit hyödyntää Matlab-istuntoa:
\begin{verbatim}

>> A=[2 1.4 ; 1.4 1]; inv(A)
   25.0000  -35.0000
  -35.0000   50.0000
>> b=[1.4;1]; bmato=[1.44;1];
>> rref([A b bmato])

ans =

    1.0000         0         0    1.0000
         0    1.0000    1.0000   -0.4000

\end{verbatim}


\item
Tarkastellaan vaimennettua heiluria ja oletetaan, että $k=\frac{g}{L}=1$
ja vaimennusvakio $ c = 1. $ 

Heilurin liike noudattaa tällöin yhtälöä:

$$\Theta''+ \Theta' + \sin \Theta =0 .$$

(a)
Muunna yhtälö ensimmäisen kertaluvun systeemiksi (Merkitse uusia 
``riippuvia muuttujia'' vaikka $y_1, y_2$.)

(b)
Määritä systeemin kriittiset pisteet ja linearisoi systeemi niissä.

(c) Määritä linearisoitujen luonne
ja stabiilisuus. (Muista, että toisen asteen yhtälön ratkaisukaavakin
on keksitty.)

(d)  
Kuvassa 1 on vaaka-akselina $y_1=\Theta$ ja pystyakselina $y_2=\Theta'$.
Seuraa kuvassa olevaa kolmea trajektoria lähtien kulkemaan ajassa eteenpäin
pisteistä $1,2,3$ 
($y_1=\Theta=0$). Kerro, mitä kelpo heilurillemme tapahtuu kullakin polulla 
erityisesti kunkin kuvassa näkyvän (kolmen) kriittisen pisteen läheisyydessä.



\begin{figure}
  \begin{center}
    \leavevmode
     \epsfig{file=vk2kuva.ps, height=7cm, width=7cm}
     \caption{}
  \end{center}
\end{figure}


\item
Olkoon $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0\end {array}
\right ]$

Laske $e^{A t}$ 

(a) Suoraan määritelmän (sarja) perusteella. \\
(b) Käyttämällä hivelevän kaunista ${\cal L}\{e^{At}\}$ - kaavaa.
(Älä väitä, ettet muista, ihan varmasti muistat sen kauneusarvon 
perusteella.)
Tässä vielä avuksi Maplella generoitu kaava:

$M=\left [\begin {array}{cc} a&b\\\noalign{\medskip}c&d\end {array}
\right ]$
$M^{-1}=\left [\begin {array}{cc} -{\frac {d}{-ad+bc}}&{\frac {b}{-ad+bc}}
\\\noalign{\medskip}{\frac {c}{-ad+bc}}&-{\frac {a}{-ad+bc}}
\end {array}\right ]$


\item
Ratkaise alkuarvotehtävä
$y'' + 3y' + 2y = r(t), \ \ y(0)=0, \ \ y'(0)=0$, missä
$r(t)=\begin{cases}
 \frac{1}{\epsilon}, \ \ \textrm{kun} \ \ 1 \leq t \leq 1+\epsilon \\
             0 \quad \textrm{muuten.}       
\end{cases}$

%Miten tämä lasku havainnollistaa Diracin deltaa $\delta(t-1)$ ja miten 

Mikä pitäisi ottaa herätteeksi $r(t)$, jos haluttaisiin laskea
suoraan ja lyhyemmin yllä saadun ratkaisun rajafunktio,
kun $\epsilon \to 0$. Laplace-muunna tämä yhtälö, mutta älä jatka
sen pitemmälle (kun aikaa on rajallisesti).

\end{enumerate}

\subsection*{Laplace-muunnokset}

\textbf{Määritelmä: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikköaskelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

\vskip 0.25 cm

{\bf Laplace-taulukko}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}






\end{document}


A=[4/3 -2/3;-1/3 5/3]


\begin{figure}
  \begin{center}
    \leavevmode
     \epsfig{file=faasi2.eps, height=7cm, width=7cm}
     \caption{}
  \end{center}
\end{figure}



A=[2 1.4 ; 1.4 1]
inv(A)
   25.0000  -35.0000
  -35.0000   50.0000

>> b=[1.4;1], bmato=[1.44;1]

b =

    1.4000
    1.0000


bmato =

    1.4400
    1.0000

>> rref([A b bmato])

ans =

    1.0000         0         0    1.0000
         0    1.0000    1.0000   -0.4000






$A=\left [\begin {array}{cc} 1&2\\
                            1& 2.01 \end {array}\right ]. $








