Mat-1.415 Matematiikan peruskurssi V3, s 2001

Apiola

2. välikoe 13.11. 2001

Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat jokaiseen vastauspaperiin!

Sallittu: funktiolaskin

1. Olkoon A = [ \begin{matrix}2 & 1.4 \\ 1.4 & 1 \end{matrix} ] .

Laske A:n häiriöluku ∥.∥_{1}:n suhteen. Ratkaise lineaariset yhtälösysteemit Ax = b ja Ax̃ = b̃, missä b = (1.4, 1) ja b̃ = (1.44, 1). Laske (SVS):n (Suhteellisen virheen suurenemisepäyhtälön) molemmat puolet ja vertaa. Huom! Riemunkiljahduksia ei pidä päästellä sen perusteella, että epäyhtälö toteutuu, vaan vasta silloin (ja silloinkin hillitysti), kun osaat nähdä häiriöalttiuden suuruusluokaltaan realistisena mittana suhteellisen virheen kasvulle.

Muista: ∥x∥_{1} = ∑ |x_{i}| ja vastaava matriisinormi lasketaan sarakesummia käyttäen.

Voit hyödyntää Matlab-istuntoa:

>> A=[2 1.4 ; 1.4 1]; inv(A)
   25.0000  -35.0000
  -35.0000   50.0000
>> b=[1.4;1]; bmato=[1.44;1];
>> rref([A b bmato])
ans =
    1.0000         0         0    1.0000
         0    1.0000    1.0000   -0.4000

Kuva 1:

2. Tarkastellaan vaimennettua heiluria ja oletetaan, että k = \frac{g}{L} = 1 ja vaimennusvakio c = 1. Heilurin liike noudattaa tällöin yhtälöä:

Θ′′ + Θ′ + sin Θ = 0.

(a) Muunna yhtälö ensimmäisen kertaluvun systeemiksi (Merkitse uusia “riippuvia muuttujia” vaikka y_{1}, y_{2}.)

(b) Määritä systeemin kriittiset pisteet ja linearisoi systeemi niissä.

(c) Määritä linearisoitujen luonne ja stabiilisuus. (Muista, että toisen asteen yhtälön ratkaisukaavakin on keksitty.)

(d) Kuvassa 1 on vaaka-akselina y_{1} = Θ ja pystyakselina y_{2} = Θ′. Seuraa kuvassa olevaa kolmea trajektoria lähtien kulkemaan ajassa eteenpäin pisteistä 1, 2, 3 (y_{1} = Θ = 0). Kerro, mitä kelpo heilurillemme tapahtuu kullakin polulla erityisesti kunkin kuvassa näkyvän (kolmen) kriittisen pisteen läheisyydessä.

3. Olkoon A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ]

Laske e^{At}

(a) Suoraan määritelmän (sarja) perusteella.

(b) Käyttämällä hivelevän kaunista L{e^{At}} - kaavaa. (Älä väitä, ettet muista, ihan varmasti muistat sen kauneusarvon perusteella.) Tässä vielä avuksi Maplella generoitu kaava:

M = [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] M^{−1} = [ \begin{matrix}−\frac{d}{−ad+bc} & \frac{b}{−ad+bc} \\ \frac{c}{−ad+bc} & −\frac{a}{−ad+bc} \end{matrix} ]

4. Ratkaise alkuarvotehtävä y′′ + 3y′ + 2y = r(t), y(0) = 0, y′(0) = 0,

missä r(t) = \begin{cases}\frac{1}{ϵ}, kun 1 ≤ t ≤ 1 + ϵ \\ 0 muuten. \end{cases}

Mikä pitäisi ottaa herätteeksi r(t), jos haluttaisiin laskea suoraan ja lyhyemmin yllä saadun ratkaisun rajafunktio, kun ϵ → 0. Laplace-muunna tämä yhtälö, mutta älä jatka sen pitemmälle (kun aikaa on rajallisesti).

Laplace-muunnokset

Määritelmä: Annettu f(t), Lf = F, F (s) = ∫_{0}^{∞} f(t)e^{−st}dt Merk. u(t) = H(t)=yksikköaskelfunktio . (Lf′)(s) = sF (s) − f(0), (Lf′′)(s) = s^{2}F (s) − sf(0) − f′(0), L{∫_{0}^{t} f(τ)dτ} = \frac{1}{s}F (s), L(f ∗ g) = (Lf)(Lg), (f ∗ g)(t) = ∫_{0}^{t} f(t − τ)g(τ)dτ = (g ∗ f)(t)

L{e^{at}f(t)} = F (s − a), L{u(t − a)f(t − a)} = e^{−as}F (s), L{δ(t − a)} = e^{−as}

Laplace-taulukko

f(t) t^{k}  e^{at} cosh at sinh at cos ωt sin ωt
F (s) \frac{k!}{s^{k+1}}  \frac{1}{s−a}  \frac{s}{s^{2}−a^{2}}  \frac{a}{s^{2}−a^{2}}  \frac{s}{s^{2}+ω^{2}}  \frac{ω}{s^{2}+ω^{2}}