\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}


\begin{document}

\subsection*{Mat-1.415 Matematiikan peruskurssi V3, s 2001} 
\hfill Apiola

\subsubsection*{1. v�likoe 16.10. 2001 }

\textbf{Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat 
jokaiseen vastauspaperiin!}
\vspace{0.5cm}

{\bf Sallittu: funktiolaskin }


\begin{enumerate}


\item
Tarkastellaan alkuarvoteht�v�� $$\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x y},\ \ y(1)=1.$$

a) Piirr� suuntakentt� neli�ss� $[0,2]\times [0,2]$ k�ytt�m�ll� $0.5$:n 
pituista
hilav�li� $x$-akselilla ja $1$:n pituista $y-$akselilla 
(saat toki tehd� pienemmill�kin hilav�leill�).

b) Ratkaise alkuarvoteht�v� analyyttisesti ja hahmottele ratkaisuk�yr�
suuntakentt�kuvaan. (Riitt�� laskea ratkaisufunktion arvo parissa kolmessa
hassussa pisteess�.)

\item
Olkoon massa-jousisysteemin massa $m=1$, vaimennusvakio $c=4$,
jousivakio $k=24$ ja ulkoinen voima (her�te) $r(t)=10 \cos \omega t$.

(a) M��rit� yleinen ratkaisu.

(b) M��rit� tasapainotilaratkaisun (``steady state'') amplitudi 
sy�tt�(kulma)taajuuden $\omega$ funktiona.

(c) M��rit� kulmataajuus $\omega$, jolla tuo amplitudi saa maksimiarvonsa.

Laskuavustusta:

Osoita, ett� ratkaistavaksi tulee yht�l�pari:
$$
\begin{cases}
-a{\omega}^{2}+4\,b\omega+24\,a=10 \\
-b{\omega}^{2}-4\,a\omega+24\,b=0
\end{cases}$$
Sen ratkaisu:
$$
\left \{a=-10\,{\frac {{\omega}^{2}-24}{-32\,{\omega}^{2}+{\omega}^{4}
+576}},b=40\,{\frac {\omega}{-32\,{\omega}^{2}+{\omega}^{4}+576}}
\right \}
$$
Osoita, ett� amplitudi sievenee n�in kauniiksi:
$
\frac{10}{\sqrt{-32\,{\omega}^{2}+{\omega}^{4}+576}}
$

Jos joudut jonkin sitke�n laskuvirheen vainoamaksi, etk� saa v�itetty�
muotoa, jatka eteenp�in. Lakuvirheist� perit��n pieni sakko, mutta
periaatteen osaaminen on t�rke�mp��.


\item
Ratkaise alkuarvoteht\"av\"a $y'=t^2-y,\ \ y(0)=1$ Eulerin menetelm\"all\"a
ja vertaa tarkkaan ratkaisuun.
K\"aytt\"aytyyk\"o virhe odotetulla tavalla?
Laske arvot $y_1, ..., y_n$ v\"alill� $[0,0.2]$ seuraavasti:

a) $h=0.2,n=1$, \ \ b) $h=0.1, n=2$, \ \ c)  $h=0.05, n=4$


\item
Matlab-istunto m��rittelee  $5 \times 6$-matriisin $A$ ja laskee
sille redusoidun porrasmuodon $E$.
\begin{verbatim}
>> A=reshape(1:30,5,6)
A =
   1          6          11         16         21           26      
   2          7          12         17         22           27      
   3          8          13         18         23           28      
   4          9          14         19         24           29      
   5         10          15         20         25           30      
>> E=rref(A)
E =
   1          0          -1         -2         -3           -4      
   0          1           2          3          4            5      
   0          0           0          0          0            0      
   0          0           0          0          0            0      
   0          0           0          0          0            0   
\end{verbatim}

M��rit� matriisin rangi sek� riviavaruuden ja sarakeavaruuden kannat.
Perustele rivi- ja sarakeavaruuksien muodostamistapasi.
M��rit� my�s nolla-avaruuden $N(A)$ kanta. 
Miten luonnehdit niit� $b$-vektoreita, jotka tekev�t yht�l�ryhm�n $A x = b$
ratkeamattomaksi? %(�l� ryhdy laskemaan.)



\end{enumerate}


\end{document}


A=[4/3 -2/3;-1/3 5/3]


\begin{figure}
  \begin{center}
    \leavevmode
     \epsfig{file=faasi2.eps, height=7cm, width=7cm}
     \caption{}
  \end{center}
\end{figure}

















