Mat-1.415 Matematiikan peruskurssi V3, s 2001

Apiola

1. välikoe 16.10. 2001

Muistathan kirjoittaa nimesi ja muut vaadittavat jokaiseen vastauspaperiin!

Sallittu: funktiolaskin

1. Tarkastellaan alkuarvotehtävää

\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{xy}, y(1) = 1.

a) Piirrä suuntakenttä neliössä [0, 2] × [0, 2] käyttämällä 0.5:n pituista hilaväliä x-akselilla ja 1:n pituista y−akselilla (saat toki tehdä pienemmilläkin hilaväleillä).

b) Ratkaise alkuarvotehtävä analyyttisesti ja hahmottele ratkaisukäyrä suuntakenttäkuvaan. (Riittää laskea ratkaisufunktion arvo parissa kolmessa hassussa pisteessä.)

2. Olkoon massa-jousisysteemin massa m = 1, vaimennusvakio c = 4, jousivakio k = 24 ja ulkoinen voima (heräte) r(t) = 10 cos ωt.

(a) Määritä yleinen ratkaisu.

(b) Määritä tasapainotilaratkaisun (“steady state”) amplitudi syöttö(kulma)taajuuden ω funktiona.

(c) Määritä kulmataajuus ω, jolla tuo amplitudi saa maksimiarvonsa. Laskuavustusta: Osoita, että ratkaistavaksi tulee yhtälöpari:

\begin{cases}−aω^{2} + 4 bω + 24 a = 10 \\ −bω^{2} − 4 aω + 24 b = 0 \end{cases}

Sen ratkaisu:

\{a = −10 \frac{ω^{2} − 24}{−32 ω^{2} + ω^{4} + 576}, b = 40 \frac{ω}{−32 ω^{2} + ω^{4} + 576}\}

Osoita, että amplitudi sievenee näin kauniiksi: \frac{10}{\sqrt{−32 ω^{2}+ω^{4}+576}}

Jos joudut jonkin sitkeän laskuvirheen vainoamaksi, etkä saa väitettyä muotoa, jatka eteenpäin. Lakuvirheistä peritään pieni sakko, mutta periaatteen osaaminen on tärkeämpää.

3. Ratkaise alkuarvotehtävä y′ = t^{2} − y, y(0) = 1 Eulerin menetelmällä ja vertaa tarkkaan ratkaisuun. Käyttäytyykö virhe odotetulla tavalla? Laske arvot y_{1}, ..., y_{n} välillä [0, 0.2] seuraavasti:

a) h = 0.2, n = 1, b) h = 0.1, n = 2, c) h = 0.05, n = 4

4. Matlab-istunto määrittelee 5 × 6-matriisin A ja laskee sille redusoidun porrasmuodon E.

>> A=reshape(1:30,5,6)
A =
   1          6          11         16         21           26
   2          7          12         17         22           27
   3          8          13         18         23           28
   4          9          14         19         24           29
   5         10          15         20         25           30
>> E=rref(A)
E =
   1          0          -1         -2         -3           -4
   0          1           2          3          4            5
   0          0           0          0          0            0
   0          0           0          0          0            0
   0          0           0          0          0            0

Määritä matriisin rangi sekä riviavaruuden ja sarakeavaruuden kannat. Perustele rivi- ja sarakeavaruuksien muodostamistapasi. Määritä myös nollaavaruuden N(A) kanta. Miten luonnehdit niitä b-vektoreita, jotka tekevät yhtälöryhmän Ax = b ratkeamattomaksi?