Harj. 6 LV

4.

> with(linalg): with(LinearAlgebra):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding

> A:=<<alpha,-2>|<2, 0>>;

> p:=det(A-lambda);

> Delta:=alpha^2-16; # Diskriminantti

> lambda[1]+lambda[2]=alpha; lambda[1]*lambda[2]=4;

a) | alpha | > 4 ==> 2 erisuurta reaalista ominaisarvoa

a 1) alpha > 4 ==> ominaisarvot > 0. Epästabiili noodi (lähdenoodi).

> y:=c[1]*exp(lambda[1]*t)*v[1]+c[2]*exp(lambda[2]*t)*v[2];

Kvalitatiivinen käytös ilmenee piirroksesta:

> [c[1]*exp(lambda[1]*t),c[2]*exp(lambda[2]*t)];

Lopullinen kuva saadaan kertomalla ominaisvektorimatriisilla, mutta siinä ei "luonne" muutu.

a 2) alpha < -4 ==> ominaisarvot < 0. Stabiili noodi (nielunoodi).

b) | alpha | = 4 ==> yksi ominaisarvo. Degeneroitunut noodi. Stabiili, jos alpha < 0, epästabiili, jos alpha >0.

Tässä asymptootinen käyttäytyminen (käytös suurilla t:n arvoilla on tyyppiä

> [c[1]*exp(lambda*t),c[1]*t*exp(lambda*t)];

riippumatta siitä, onko ominaisvektoreita 1 vai 2.

(Tämä on aika huonosti selvitetty KRE-kirjassa.)

c) | alpha | < 4 ==> Kompleksiset liittoluvut ominaisarvoina.

c1) 0 < alpa < 4 ==> reaaliosa (= alpha/2) > 0 , epästabiili spiraali (lähdespiraali)

c2) -4 < alpa < 0 ==> reaaliosa (= alpha/2) < 0, stabiili spiraali (nieluspiraali)

c3) alpha=0 ==> reaaliosa = 0, keskus, stabiili (mutta ei vahvasti stabiili).