Harj. 6 AV

24.10.01 HA

3. Kompleksiesityksen samuusproblematiikkaa

Harjoituksessa ilmeni, että kompleksilaskuissa voidaan saada erinäköisiä esityksiä, joiden pitää teorian mukaan johtaa samaan lopputulokseen. Katsotaan nyt, miten Maijan ja Heikin laskut täsmäävät.

> restart: with(linalg): with(LinearAlgebra):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding

> A:=<<2,-1>|<10,4>>;

> E:=IdentityMatrix(2,2):

> p:=det(A-lambda*E);

> lam:=solve(p=0,lambda);

> ALI1:=A-lam[1]*E;

Matriisin rivien oltava LRT, vaikka ei aivan siltä näytä. Jos ominaisvektorit lasketaan ylemmän rivin mukaan, saadaan

ominaisvektori "Maija", kun taas alempi antaa vektorin "Heikki".

> Maija:=<10,1+3*I>;Heikki:=<1-3*I,1>;

Todetaan LRV laskemalla vastinalkioiden suhteet:

> Maija[1]/Heikki[1]=Maija[2]/Heikki[2];

Ovat tosiaanmin samat, kyse on vain tästä:

> (1+3*I)*(1-3*I);

Tarkistus:

> eigenvectors(A);

> lambda:=lam[1]:

> alpha:=Re(lambda);beta:=Im(lambda);

Katsotaan nyt, onko esitys "Maija" sama kuin esitys "Heikki".

> uM:=map(Re,Maija);vM:=map(Im,Maija);

> uH:=map(Re,Heikki);vH:=map(Im,Heikki);

> yM:=exp(alpha*t)*((aM*cos(beta*t)+bM*sin(beta*t))*uM+(bM*cos(beta*t)-aM*sin(beta*t))*vM);

> yH:=exp(alpha*t)*((aH*cos(beta*t)+bH*sin(beta*t))*uH+(bH*cos(beta*t)-aH*sin(beta*t))*vH);

> yH:=map(collect,evalm(yH),{cos(3*t),sin(3*t)});yM:=map(collect,evalm(yM),{cos(3*t),sin(3*t)});

Kyse on siitä, voidaanko mielivaltainen "Maija"-esitys saada "Heikki"-muotoon ja kääntäen.

Vertaamalla vastinkertoimia johdutaan yhtälösysteemiin.

> MHsys:=(aH-3*bH)=10*aM,(bH+3*aH)=10*bM,aH=(aM+3*bM),bH=(bM-3*aM);

Katsotaan, saadaanko mielivaltaiset M-kertoimet lausutuksi H-kertoimien avulla ja kääntäen.

> solve({MHsys},{aH,bH});solve({MHsys},{aM,bM});

No saatiin, tulos on siis yksikäsitteinen, vaikkakin sen toteaminen olisi käsin laskien kohtuullisen vaivalloista.