http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/01/H/H4.html
Päivitetty 12.10.01

Harjoitus 4

Linkit
Ratkaisuhakemisto

Alkuviikko (AV)

Loppuviikko (LV)

Funktioavaruuksiin liittyvää filosofiaa

Funktioavaruus, kuten kaikki reaaliakselilla määritellyt funktiot tai siitä sopivalla tavalla rajoittamalla saadut avaruudet ovat vektoriavaruuksia, jos tuo rajoittamisoperaatio on lineaarinen. Tällaisia ovat jatkuvuus, derivoituvuus ym. Myös esim. ehto f(0)=0, sensijaan ehto f(0)=1 ei ole "lineaarinen rajoitusehto", eihän f+g toteuta samaa ehtoa, vaikka f ja g toteuttaisivat.

Funktioiden laskutoimitukset: Jos f ja g ovat funktioavaruuden F alkioita ("vektoreita"), määritellään laskutoimitukset: 

         f+g on funktio, joka pisteessä t saa arvon f(t)+g(t)
         cf  on funktio, joka pisteessä t saa arvon cf(t).
Funktiot f1,...,fn ovat LRT, jos ja vain jos 
   c1f1+ ... + cnfn =0 ==> c1= ... cn=0.
Tämä siis tarkoittaa, että 
  c1f1(t)+ ... + cnfn(t) = 0  kaikilla t ==> c1= ... cn=0
Siis voimme sijoittaa t:lle sopivia arvoja ja aina on tultava 0. Näin saamme ehtoyhtälöitä kertoimille ja sopivilla valinnoilla saame niitä nolliksi, jos ovat ollakseen LRT.

Muutama tapa osoittaa monomit LRT:ksi

Tapa 1 

                          2            n
          c0 + c1 t + c2 t  + ... + cn t  = 0 kaikilla t

==> pätee erityisesti, kun t=0. ==> c0=0. Koska pätee myös arvoilla t#0,
voidaan jakaa t:llä, jäljelle jää astetta n-1 oleva polynomi, johon voidaan
toistaa sama menettely. Näin saadaan vaiheittain kaikki kertoimet nolliksi,
joten LRT.
Tapa 2

Päätellään c0=0 samoin kuin edellä. Koska polynomi on identtisesti 0, sen derivaatta on myös 0, erityisesti p'(0)=0, joten c1=0. Näin jatkaen saadaan taas kaikki kertoimet nolliksi.

Tapa 3 Raja-arvokäyttäytymiseen perustuva: (n+1)-asteinen kasvaa nopeammin kuin n-asteinen.

Jos 

     
                          2            n
          c0 + c1 t + c2 t  + ... + cn t  = 0 kaikilla t,
ja jos cn#0, niin 
     n                2                 n-1
    t  = d0 + d1 t + d2 t  + ... + dn-1 t    kaikilla t,
missä dk=-ck/cn. Jaetaan t^(n-1):llä, jolloin oikea puoli -> dn-1 ja vasen ääretöntä. Niinpä t^n:ää ei voida lausua alempiasteisten lineaarikombinaationa. Itse asiassa Tuulin päättelyssä vedottiin tähän itsestäänselvyytenä, (minä sitä voidaankin pitää).

Polynomin nollakohtiin perustuva, jonka mainitsin, mutta en esitellyt oikein tarkkaan, on aika keinotekoinen, kun asiaa tarkemmin ajattelee. Tässä yhteydessä se varmaan kannattaa unohtaa.