http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/G-J.html

Gauss ja Gauss-Jordan

Gauss-Jordan, KRE s. 366, Example 1 (käänteismatriisin yhteydessä)
(GREE esim. kts. s. 13 )

Maplessa matriisioperaatioita varten ladataan paketti linalg Tarvittavat Maple-komennot:

   matrix, vector, augment, addrow, mulrow,
   gaussjord (relevantti myös gausselim)

> with(linalg):

Matriisi voidaan muodostaa matrix-komennolla vaakarivien (listojen) listana
( tai muodossa matrix(4,6,[1,-1,....,-2,1]); )

> A:=matrix([[1,-1,1,0,0,2],[1,1,2,4,1,2],[0,2,1,4,3,1],[1,-3,0,-4,-2,1]]);

                               [ 1  -1  1   0   0  2 ]
                               [                     ]
                               [ 1   1  2   4   1  2 ]
                          A := [                     ]
                               [ 0   2  1   4   3  1 ]
                               [                     ]
                               [ 1  -3  0  -4  -2  1 ]

> b:=vector([0,3,2,0]);

                               b := [ 0, 3, 2, 0 ]

Komennolla augment liitetään sarakevektori matriisin perään. Näin saadaan "augmented matrix", vrt. KRE s. 345.

 
> Ab:=augment(A,b);

                              [ 1  -1  1   0   0  2  0 ]
                              [                        ]
                              [ 1   1  2   4   1  2  3 ]
                        Ab := [                        ]
                              [ 0   2  1   4   3  1  2 ]
                              [                        ]
                              [ 1  -3  0  -4  -2  1  0 ]

Komento addrow(M,r1,r2,c) palauttaa matriisin, jossa M:n rivi r2 on korvattu vektorilla c*row(M,r1) + row(M,r2)

1. sarake:

> Ab:=addrow(Ab,1,2,-1);  # muutettava_rivi_no=2, kerroin = -1
                          # kerrottava ja yhteenlaskettava rivi_no=1 

                              [ 1  -1  1   0   0  2  0 ]
                              [                        ]
                              [ 0   2  1   4   1  0  3 ]
                        Ab := [                        ]
                              [ 0   2  1   4   3  1  2 ]
                              [                        ]
                              [ 1  -3  0  -4  -2  1  0 ]

> Ab:=addrow(Ab,1,4,-1); # muutettava_rivi_no=4, kerroin = -1
                         # kerrottava ja yhteenlaskettava rivi_no=1

                             [ 1  -1   1   0   0   2  0 ]
                             [                          ]
                             [ 0   2   1   4   1   0  3 ]
                       Ab := [                          ]
                             [ 0   2   1   4   3   1  2 ]
                             [                          ]
                             [ 0  -2  -1  -4  -2  -1  0 ]

2. sarake:


> Ab:=addrow(Ab,2,3,-1);  # muutettava_rivi_no=3, kerroin = -1
                          # kerrottava ja yhteenlaskettava rivi_no=2

                             [ 1  -1   1   0   0   2   0 ]
                             [                           ]
                             [ 0   2   1   4   1   0   3 ]
                       Ab := [                           ]
                             [ 0   0   0   0   2   1  -1 ]
                             [                           ]
                             [ 0  -2  -1  -4  -2  -1   0 ]

> Ab:=addrow(Ab,2,4,1);

                              [ 1  -1  1  0   0   2   0 ]
                              [                         ]
                              [ 0   2  1  4   1   0   3 ]
                        Ab := [                         ]
                              [ 0   0  0  0   2   1  -1 ]
                              [                         ]
                              [ 0   0  0  0  -1  -1   3 ]

5. sarake:

> Ab:=addrow(Ab,3,4,1/2);

                             [ 1  -1  1  0  0    2    0  ]
                             [                           ]
                             [ 0   2  1  4  1    0    3  ]
                       Ab := [                           ]
                             [ 0   0  0  0  2    1    -1 ]
                             [                           ]
                             [ 0   0  0  0  0  -1/2  5/2 ]

Nyt olemme saaneet Gaussin eliminaation suoritetuksi. Ratkaisu voidaan lukea suoraan: Alimmasta saadaan x₆, toiseksi alimmasta x₅.
Toisessa yhtälössä on kaksi "ylimääräistä vaakaporrasta", x₄ ja x₃ voidaan siksi valita vapaiksi parametreiksi ja ratkaista toisesta yhtälöstä x₂. Ensimmäisestä saadaan x₁

Olemme siis suorittaneet Gaussin eliminaation ja saattaneet systeemin yläkolmiomuotoon. Tälle muodolle käytetään nimeä "(rivi)porrasmuoto", "row-echelon form" ja lyhennettä ref

Käytännössä ratkaisut lasketaan tästä muodosta. Teoreettisesti kauniimpi on ns. redusoitu porrasmuoto, "reduced row-echelon form". Lyhenne: rref.

Takaisinsijoitus rivioperaatioilla, Gauss-Jordan, rref

Suoritamme yllä olevat vaiheet samanlaisilla rivioperaatioilla, jotka nyt etenevät alhaalta ylös.

Ensin normeeraus

> Ab:=mulrow(Ab,4,-2);  # Rivi_no 4 kerrotaan luvulla -2

                               [ 1  -1  1  0  0  2   0 ]
                               [                       ]
                               [ 0   2  1  4  1  0   3 ]
                         Ab := [                       ]
                               [ 0   0  0  0  2  1  -1 ]
                               [                       ]
                               [ 0   0  0  0  0  1  -5 ]

> Ab:=mulrow(Ab,3,1/2);

                             [ 1  -1  1  0  0   2     0  ]
                             [                           ]
                             [ 0   2  1  4  1   0     3  ]
                       Ab := [                           ]
                             [ 0   0  0  0  1  1/2  -1/2 ]
                             [                           ]
                             [ 0   0  0  0  0   1    -5  ]

> Ab:=mulrow(Ab,2,1/2);

                           [ 1  -1   1   0   0    2     0  ]
                           [                               ]
                           [ 0   1  1/2  2  1/2   0    3/2 ]
                     Ab := [                               ]
                           [ 0   0   0   0   1   1/2  -1/2 ]
                           [                               ]
                           [ 0   0   0   0   0    1    -5  ]

Aloitetaan rivioperaatiot

6. sarake:

> Ab:=addrow(Ab,4,3,-1/2);

                            [ 1  -1   1   0   0   2   0  ]
                            [                            ]
                            [ 0   1  1/2  2  1/2  0  3/2 ]
                      Ab := [                            ]
                            [ 0   0   0   0   1   0   2  ]
                            [                            ]
                            [ 0   0   0   0   0   1   -5 ]

> Ab:=addrow(Ab,4,1,-2);

                            [ 1  -1   1   0   0   0   10 ]
                            [                            ]
                            [ 0   1  1/2  2  1/2  0  3/2 ]
                      Ab := [                            ]
                            [ 0   0   0   0   1   0   2  ]
                            [                            ]
                            [ 0   0   0   0   0   1   -5 ]

5. sarake:

> Ab:=addrow(Ab,3,2,-1/2);

                             [ 1  -1   1   0  0  0   10 ]
                             [                          ]
                             [ 0   1  1/2  2  0  0  1/2 ]
                       Ab := [                          ]
                             [ 0   0   0   0  1  0   2  ]
                             [                          ]
                             [ 0   0   0   0  0  1   -5 ]

2. sarake:

> Ab:=addrow(Ab,2,1,1);

                             [ 1  0  3/2  2  0  0  21/2 ]
                             [                          ]
                             [ 0  1  1/2  2  0  0   1/2 ]
                       Ab := [                          ]
                             [ 0  0   0   0  1  0    2  ]
                             [                          ]
                             [ 0  0   0   0  0  1   -5  ]

Nyt on redusoitu porrasmuoto valmis. Tarkistetaan vielä

> gaussjord(augment(A,b));  

                          [ 1  0  3/2  2  0  0  21/2 ]
                          [                          ]
                          [ 0  1  1/2  2  0  0   1/2 ]
                          [                          ]
                          [ 0  0   0   0  1  0    2  ]
                          [                          ]
                          [ 0  0   0   0  0  1   -5  ]

Kylla vaan!!

Matlabilla:

>> rref([A b])

This page created by <Heikki.Apiola@hut.fi>
Tue Sep 12 15:26:56 EEST 2000