{VERSION 4 0 "IBM INTEL LINUX22" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Text Output" -1 2 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Cour ier" 1 10 0 0 255 1 0 0 0 0 0 1 3 0 3 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Warning" 2 7 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" -1 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 12 12 1 0 1 0 2 2 19 1 }{PSTYLE "Author" -1 19 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 8 8 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 16 "H/harj12ohje.mws" }} {PARA 19 "" 0 "" {TEXT -1 11 "25.4.02 HA" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 114 "N\344m\344 viimeiset LV harjoitukset ovat kenties pitk \344t, mutta my\366s hyvin (=liian?) pitk\344lle neuvotut t\344ll\344 \+ ty\366arkilla." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 128 "Ratkaisussa tulee olla selvill\344 siit\344, mit\344 ENTER-painallukset tarkoittavat. Toki o n j\344tetty sinne t\344nne t\344ydennett\344vi\344 aukkoja." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 127 "Itsell\344ni oli aika paljon ty\366t\344, mut ta asiat ovat niin valmiiksi pureskeltuja, ett\344 rastien pit\344isi \+ olla lopulta aika kevyit\344." }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Alustukset" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "#read(\"c:\\\\opetus\\\\mapl e\\\\v202.mpl\"): # HA:n kotikone (Win)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "#read(\"/p/edu/mat-1.414/maple/v202.mpl\"): # A TK-luokassa" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 75 "#read(\"/hom e/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v202.mpl\"): # HA:n Linux" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 110 "# My\366s voit ottaa: www.. /maple/v202.mpl - tieodoston ja sijoittaa sen sopivan polun varteen. S iin\344 tapauksessa" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "# \+ kannattaa p\344ivitt\344\344, koska v202.mpl el\344\344." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }{TEXT -1 0 "" }}}} {SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 112 "Huom! Ennenkuin suoritat komento ja, poista read-lauseista soveltuvasti kommentit ja tarpeen mukaan muu ta polkua." }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 2 "1." }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "Kun k\344ytett\344viss\344 on harj12av.mws, ni in opettavaisinta lienee laskea ensin aivan samalla tavalla ottamalla \+ vain" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "isommat gausstaulukot k\344ytt \366\366n. Samalla saamme hy\366dyn AV teht. 5:ss\344 laskemastamme m uunnoksesta." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "restart: " } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 140 "#read(\"/home/apiola/opet us/peruskurssi/v2-3/maple/v202.mpl\"):\n#read(\"/p/edu/mat-1.414/maple /v202.mpl\")\n#read(\"c:\\\\opetus\\\\maple\\\\v202.mpl\"):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "gaussmn:=Sum(Sum(wx[i]*wy[j] *intf(sx[i],sy[j]),j=1..n),i=1..m);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "T\344ss\344 on yleinen tulokaava. Lasketaan nyt AV teht. 5:n ti lanne" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Katso funktioiden gaussolmut ja \+ gausspainot sis\344lt\366:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "op(gaussolmut); op(gausspainot);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "m:=5: sx:=gaussolmut(m);wx:=gausspainot(m);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "n:=4: sy:=gaussolmut(n):wy:= gausspainot(n):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "f:=(x,y) ->ln(x+2*y);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "x:=... y:= \+ ... # se lineaarinen muunnos + siirto" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "dxdy_per_dudv:= ... # pinta-alkioiden muuntosuhde" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "F:=f(x,y); # I ntegroitava funktio u:n ja v:n avulla." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Muunsimme integroinnin yksikk\366neli\366n yli (kuten AV \+ 5:ss\344)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 92 "intf:=unapply (F*dxdy_per_dudv,u,v); # Kerrotaan viel\344 muuttujanvaihdoksen muun tosuhteella." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "value(gauss mn);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "int(int(f(xx,yy),xx =1.4..2),yy=1..1.5); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "f_ arvoja=m*n;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Testaile !" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Kokeillaan samalla my\366s valmiita funkt ioitamme" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "gtaulux:=gausst aulukko(5): gtauluy:=gausstaulukko(4):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "Gaussnelio(gtaulux,gtauluy,intf);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 107 "Gaussnelio(gausstaulukko(3),gausstaulukko( 3),intf); # N\344in ei tehd\344 k\344yt\366nn\366ss\344, mutta \"teori assa\" k\344tev\344\344." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "with(LinearAlgebra):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "Ma trix(3,3,(m,n)->Gaussnelio(gausstaulukko(m),gausstaulukko(n),intf));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "Matrix(5,5,(m,n)->Gaussne lio(gausstaulukko(m),gausstaulukko(n),intf));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 235 "T\344m\344 on tosi eleganttia, kyll\344kin tuhlaileva a laskentaa. L\344hes sama eleganssi voitaisiin saavuttaa laskemalla e nsin valmiit taulukot ja sitten hakemalla niist\344. Jos teht\344isiin isompi taulukko, niin sitten kannattaisi jossain vaiheessa." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 118 "Gaussin kaavoja k\344ytet\344\344n el\344v\344 ss\344 el\344m\344ss\344 tietysti niin, ett\344 muodostetaan ensin sop ivan kokoinen taulukko ja sitten" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 125 "haet aan aina sielt\344. Siksi funktiomme onkin rakennettu niin, ett\344 ta ulukko annetaan argumenttina. (Taulukko voitaisiin vaikka" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 19 "lukea tiedostosta.)" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 7 "Gaussxy" }{TEXT -1 11 ":n kokeilu:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "T\344m\344 on sik\344li helppok\344ytt\366isempi, ett\344 ei tarvita muuttujan vaihtoa:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "map(nops,gtaulux); map(nops,gtauluy);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "op(f);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "Gaussxy(gtaulux,gtauluy,f,1.4,2,1,1.5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "Gaussnelio(gtaulux,gtauluy,intf);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "Kyll\344p\344 toimivat kauniisti, vai mit \344! (Toivottavasti j\344i jotain teht\344v\344\344.)" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 2 "2." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "T\344ss \344 on tilaisuus harjoitella muunnoksia alueilta toisille." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "restart:with(plots): with(plottools ):" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 50 "Warning, the name changecoords has \+ been redefined\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "kolmio: =[[0,0],[1,0],[1,1]]:kolmiokuva:=polygon(kolmio,filled=true,color=yell ow):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "display(kolmiokuv a);\"xy-taso\";" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "nelio01: =[[0,0],[0,1],[1,1],[1,0]]: # [0,1] x [0,1]\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "nelio01kuva:=polygon(nelio01,filled=true,colo r=green):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "display(neli o01kuva);\"uv-taso\";" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "ne lio_11:=[[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]]: # [-1,1] x [-1,1] " }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "nelio_11kuva:=polygon(nelio_ 11,filled=true,color=cyan):\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "display(nelio_11kuva); \"zw-taso\";\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 7 "Olkoot:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 "g: =(u,v)->[u,u*v]; gv:=uv->g(uv[1],uv[2]); # Kuvaus [0,1] x [0,1] --> De lta (kolmio)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 88 "h:=(w,z)->[ ..,..]; hv:=uv->h(uv[1],uv[2]); # Kuvaus [-1,1] x [-1,1] --> [0,1] x \+ [0,1] ." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 138 "Aivan samoin kuin opt imoinnin yhteydess\344 (Muistatko SD:n?) on k\344tev\344\344 m\344\344 ritell\344 kahden muuttujan funktioista my\366s lista/vektori-versiot \+ " }{TEXT 0 3 "gv " }{TEXT -1 3 "ja " }{TEXT 0 2 "hv" }{TEXT -1 69 " . \nNiiden avulla on vaivatonta katsoa, miten eri pisteet kuvautuvat. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "map(hv,nelio_11);map(gv,% );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "N\344inh\344n niiden pitiki n menn\344." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Katsotaan Gaussin pisteit \344. Voi olla, ett\344 olemme k\344ytt\344neet restarttia, no tied \344mme, mit\344 pit\344\344 olla 2:n pisteen tapauksessa:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "s[1]:=-1/sqrt(3); s[2]:=-s[1];" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "ss:=[seq(seq([s[i],s[j]],j=1 ..2),i=1..2)];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "gpnelio01 :=map(hv,ss);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "display(ne lio01kuva,plot(gpnelio01,style=point,symbol=cross)); \"uv-taso\";\n" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 96 "gpkolmio:=map(gv@hv,ss); # N\344in kuvautuvat neli\366n [-1,1] x [-1,1] Gauss2-pisteet kolmioon \+ Delta." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "display(kolmiokuv a,plot(gpkolmio,style=point,symbol=cross));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 912 "Gaussin pisteiden sijainti kolmiossa ei n\344yt\344 op timaaliselta. Oikeassa laidassa pisteet ovat paljon harvemmassa.\nMiet timisen paikka: Mit\344 kannattaisi tehd\344. Jaetaan alue sopivasti \+ osiin. Ehk\344 kannattaisi ottaa suht. iso N vaakasuunnassa ja kutakin \npystyjanaa kohti kasvatettaisiin N:\344\344 lineaarisesti pystysuunn assa. N\344ill\344 Gauss-palikoilla olisi helppo toteuttaa.\nParempi v iel\344: Siirryt\344\344n k\344ytt\344m\344\344n ns. pinta-alakoordina atteja: Kolmion sis\344piste yhdistet\344\344n janalla kuhunkin k\344r keen ja otetaan syntyneiden kolmioiden\npinta-alat pisteen koordinaate iksi.\nFEM-laskennassa suoritetaan usein integrointia kolmion yli, Pis teet valitaan usein reunalta, mediaanien leikkauspisteest\344 jne., ri ippuen kantafunktiotyypist\344.\nPeriaatteessa tehd\344\344n samanlain en mahd. korkean asteluvun vaatimus.\nTutkimuksen ja opiskelun aihe .. . FEM-kirjallisuus ... (FEM = Finite Element Method)\nTestataan int egraalikaavoja esimerkeill\344." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "f:='f':Ixy:=Int(Int(f(x,y),y=0..x),x=0..1);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "Iuv:=Int(Int(f(u,u*v)*u,v=0..1),u=0 ..1);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "Iwz:=(..)*Int(In t(f((..,..)*(),z=-1..1),w=-1..1);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "f:=(x,y)->x*y; fv:=xvek->f(xvek[1],xvek[2]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "value(Ixy);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "value(Iuv);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "value(Iwz);\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Tehd\344\344n nyt varsinainen t\344m\344n teht\344v\344n \+ esimerkki." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "f:=(x,y)->exp (-x^2*y^2); fv:=xvek->f(xvek[1],xvek[2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 24 "uv:=h(w,z); xy:=gv(uv); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "intfunwz:=...;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "Int(Int(intfunwz,z=-1..1),w=-1..1): %=value(%);evalf( rhs(%));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "x:='x': y:='y': Int(Int(f(x,y),y=0..x),x=0..1): %=value(%); evalf(rhs(%));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Saasaan samalla n\344ytt\366 Maplen taido ista laskea erikoisfunktioilla (erf ja hypergeom)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "No nyt sitten Gaussiin." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 102 "#read(\"/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v 202.mpl\"):\n#read(\"/p/edu/mat-1.414/maple/v202.mpl\")" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "gtaulux:=gausstaulukko(5);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "gtauluy:=gausstaulukko(4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "fzw:=unapply(intfunwz,w,z );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "op(Gaussnelio);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Gaussnelio(gtaulux,gtauluy,f zw);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 " Otetaan v\344hemm\344n p isteit\344" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 78 "gtaulu2:=gaus staulukko(2):gtaulu3:=gausstaulukko(3):gtaulu4:=gausstaulukko(4):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Gaussnelio(gtaulu2,gtaulu3,f zw);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Gaussnelio(gtaulu3, gtaulu2,fzw);" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 2 "3." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 75 "Lieri\366koordinaatteihin siirtyminen auttaa merki tt\344v\344sti laskennassa, kuten " }{TEXT 257 11 "numint3.mws" } {TEXT -1 12 ":ss\344 n\344emme." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 113 "Laske taan kartion z=r ja tason z=2 rajoittaman kappaleen massa ja momentti xy-tason suhteen, kun kartion tiheys " }{XPPEDIT 18 0 "rho(x,y,z) = s qrt(x^2+y^2);" "6#/-%$rhoG6%%\"xG%\"yG%\"zG-%%sqrtG6#,&*$F'\"\"#\"\"\" *$F(F/F0" }{TEXT -1 2 " ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Edellinen sa adaan copy/paste:lla:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 150 "re start: #read(\"/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v202.mpl\"): #\n#read(\"/p/edu/mat-1.414/maple/v202.mpl\")\n#read(\"c:\\\\opetus\\ \\maple\\\\v202.mpl\"):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 " M:=Int(Int(Int(..,z=..),r=..),Theta=..);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "Mxy:=Int(Int(Int(..,z=..),r=..),Theta=..);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "gtaulu:=gausstaulukko(5):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 78 "Mg:=Gaussxyz(gtaulu,gtaulu,gtaulu,(Theta,r,z)->r^2, 0,2*Pi,0,2,(Theta,r)->r,2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "value(M);evalf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "M gxy:=Gaussxyz(gtaulu,gtaulu,gtaulu,(Theta,r,z)->z*r^2,0,2*Pi,0,2,(Thet a,r)->r,2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "value(Mxy);e valf(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "z0g:=.. ; \+ #Gaussilla laskettu" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "z0:=.. ;evalf(%); # Tarkka intergaali ja sen py\366ristys." }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "T\344m\344 saa riitt\344\344, x0 j a y0 ovat ilman muuta nollia." }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 2 "4." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart:with(linalg): " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "Torus:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "x:=(a+w*cos(v))*cos(u);\ny:=(a+w*cos(v))*sin(u);\nz:= w*sin(v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "Jac:=jacobian( [x,y,z],[u,v,w]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Jdet:= simplify(det(%));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "M:=Int (Int(Int(),..),..);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "M:=v alue(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Keski\366n suhteen ki innostava on x0. Symmetriasyist\344 on oltava y0=0, z0=0." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "Mxy:=Int(Int(Int(..)..)..);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "value(Mxy);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "x0:=.." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 2 "5." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 37 "restart:with(plots): with(plottools):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 102 "#read(\"/home/apiola/opetus/perusk urssi/v2-3/maple/v202.mpl\"):\n#read(\"/p/edu/mat-1.414/maple/v202.mpl \")" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "T:=[[-1,1],[-1,1]]; " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "satu:=rand(0..10^10)/10 .^10;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 186 "Kun min\344 yst\344v \344llisesti annan sopivat kutsut sellaisenaan, niin selvit\344 sin \344 yst\344v\344llisesti, miksi kutsu on juuri t\344llainen. (Pelkk \344 aivoton ENTER aiheuttaa minulle allergisen reaktion.)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 "N:=10: [MonteCarlo2d(1,(x,y)->x^2+y ^2,T,N^2),Riemann2d(1,(x,y)->x^2+y^2,T,N)]; N^2*f_arvoa;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 177 "N:=50: [MonteCarlo2d(1,(x,y)->x^2+ y^2,T,N^2),Riemann2d(1,(x,y)->x^2+y^2,T,N)]; N^2*f_arvoa; # Talleta en nenkuin kutsut kovin suurella N:ll\344 (\344l\344 tuhlaa koko yhteis \366n CPU-aikaa)." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 121 "Joskus voi \+ olla j\344rkev\344mp\344\344 laskea suht. pienell\344 N:ll\344 ja muod ostaa keskiarvo saaduista tuloksista. Sekin k\344y k\344tev\344sti:" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 98 "N:=20: lkm:=20: keskiarvo: =add(MonteCarlo2d(1,(x,y)->x^2+y^2,T,N^2),i=1..lkm)/lkm;lkm*N^2*f_arvo a;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 98 "N:=30: lkm:=10: keski arvo:=add(MonteCarlo2d(1,(x,y)->x^2+y^2,T,N^2),i=1..lkm)/lkm;lkm*N^2*f _arvoa;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 169 "Monte-Carlo n\344ytt \344\344 olevan joka kerta parempi kuin Riemann, vai milt\344 sinusta \+ n\344ytt\344\344. Ero n\344kyy erityisen selv\344sti pienill\344 laske ntam\344\344rill\344. \"Hyv\344ll\344 onnella\" saadaan " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 176 "Monte Carlolla varsin kohtuullinen likiarvo hyvin kin pienell\344 laskentam\344\344r\344ll\344. Toisaalta Monte Carlo sa attaa isollakin laskennalla antaa yll\344tt\344v\344sti huonomman tull oksen kuin " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "pienemm\344ll\344. Kannatt aako siis uhkapeli?" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 2 "6." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart:" }}{PARA 7 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "with(plots): setoptions3d(axes=boxed,orientation=[ -30,50]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 102 "#read(\"/home /apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v202.mpl\"):\n#read(\"/p/edu/mat -1.414/maple/v202.mpl\")" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Toruspinta: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "x:=(a+b*cos(v))*cos(u): \ny:=(a+b*cos(v))*sin(u):\nz:=b*sin(v):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 165 "Toki on luonnollista laskea toruskoordinaateissa, kuten \+ teht. 4. Tyypillinen Monte Carlo olisi sellainen, jossa reunat olisiva t hankalammat, kuten luentoesimerkiss\344." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 165 "T\344ll\366in olisi luontevaa laskea suorak. koordinaateissa. \+ (Samaten teht\344v\344ss\344, joka olisi suoraan annettu suorak. koord .) Sit\344paitsi s\344rmi\366n yli integroinnissa ei ole" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 41 "kovin paljon vitsi\344 Monte Carlon suhteen." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Simuloidaan todellisuutta ja lasketaan su orakulmaisissa." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 160 "Muunnetaan torus siis suorakulmaisiin koordinaatteihin. (T\344ss\344 on tilanne, jossa on \+ helpompi johtaa pinnan (ja kappaleen) esitys muunnetussa koordinaatist ossa," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "toki sama tilanne esiintyy pallo lla pallokoordinaatistossa ja lieri\366ll\344 lieri\366koordinaatistos sa.)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "T\344m\344 tapahtuu etup\344\344 ss\344 k\344sin. K\344yt\344mme Maplea t\344ss\344 kohden l\344hinn \344 matemaattiseen tekstink\344sittelyyn, toki hy\366dynn\344mme" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "h\344nen sievennystaitojaan." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 82 "Mieti seuraavat vaiheet mielell\344\344n kyn\344 \344 ja paperia k\344ytt\344en, niin ne on tehtykin." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "x2y2z2:=simplify(x^2+y^2)+z^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%'x2y2z2G,**$)%\"aG\"\"#\"\"\"F***F)F*F(F*% \"bGF*-%$cosG6#%\"vGF*F**&)F,F)F*)F-F)F*F**&F2F*)-%$sinGF/F)F*F*" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "x:='x': y:='y': z:='z':" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "x2y2z2:=a^2+2*a*(sqrt(x^2+y^ 2)-a)+b^2*cos(v)^2+b^2*sin(v)^2;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%'x2y2z2G,**$)%\"aG\"\"#\"\"\"F** (F)F*F(F*,&*$-%%sqrtG6#,&*$)%\"xGF)F*F**$)%\"yGF)F*F*F*F*F(!\"\"F*F**& )%\"bGF)F*)-%$cosG6#%\"vGF)F*F**&F:F*)-%$sinGF?F)F*F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "expand(x2y2z2);" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#,**$)%\"aG\"\"#\"\"\"!\"\"*(F'F(F&F(-%%sqrtG6#,&*$)% \"xGF'F(F(*$)%\"yGF'F(F(F(F(*&)%\"bGF'F()-%$cosG6#%\"vGF'F(F(*&F6F()-% $sinGF;F'F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "x^2+y^2+z^ 2+a^2=expand(2*a*(sqrt(x^2+y^2)-a))+b^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,**$)%\"xG\"\"#\"\"\"F)*$)%\"yGF(F)F)*$)%\"zGF(F)F)*$)%\"aGF(F) F),(*&F2F)-%%sqrtG6#,&F%F)F*F)F)F(*&F(F)F1F)!\"\"*$)%\"bGF(F)F)" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "x^2+y^2+z^2+a^2-2*a*(sqrt(x^ 2+y^2))=b^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,,*$)%\"xG\"\"#\"\"\" F)*$)%\"yGF(F)F)*$)%\"zGF(F)F)*$)%\"aGF(F)F)*(F(F)F2F)-%%sqrtG6#,&F%F) F*F)F)!\"\"*$)%\"bGF(F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Kun aj atellaan " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "r=sqrt(x^2+y^2 );" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/%\"rG*$-%%sqrtG6#,&*$)%\"xG\"\" #\"\"\"F.*$)%\"yGF-F.F.F." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "n \344hd\344\344n vasemmalla binomin neli\366. Siten saadaan:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "(sqrt(x^2+y^2)-a)^2+z^2=b^2; " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,&*$),&*$-%%sqrtG6#,&*$)%\"xG\"\" #\"\"\"F1*$)%\"yGF0F1F1F1F1%\"aG!\"\"F0F1F1*$)%\"zGF0F1F1*$)%\"bGF0F1 " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Toruksen sisusta on siten:" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "(sqrt(x^2+y^2)-a)^2+z^2<=b ^2;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#1,&*$),&*$-%%sqrtG6#,&*$)%\"xG \"\"#\"\"\"F1*$)%\"yGF0F1F1F1F1%\"aG!\"\"F0F1F1*$)%\"zGF0F1F1*$)%\"bGF 0F1" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "x:=(a+b*cos(v))*cos( u);\ny:=(a+b*cos(v))*sin(u);\nz:=b*sin(v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 12 "a:=2: b:=1: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 81 "plot3d([x,y,z],u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,scaling=constrained,lab els=[\"x\",\"y\",\"z\"]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Kuva ssa on suoraan n\344kyviss\344 ymp\344r\366iv\344 laatikko (etenkin, \+ kun k\344\344ntelet sit\344). " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "T:=[[..]],[..],[..]];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "satu:=rand(0..10^9)/10.^9;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "g:=(x,y,z)->(sqrt(x^2+y^2)-a)^2+z^2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "MonteCarlo3d(1,g,T,10),evalf(a*b^2* Pi^2); # Mit\344 kaikkea t\344ss\344 tapahtuu." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "MonteCarlo3d(1,g,T,20),evalf(a*b^2*Pi^2);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Nyt voit viel\344 omatoimisesti la skea keski\366n, jos jaksat." }}}}}{MARK "9 20 0 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }