[Up]
http://www.math.hut.fi/teaching/v/2/L/sarjat.html    13.2.01

Sarjaoppia

Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan.

Kirjallisuutta

  1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, 8. painos Part D Complex Analysis, s. 733 - >
  2. Lahtinen-Pehkonen osa 2
  3. Salenius
  4. Adams, Grossman, Finney-Thomas, ...
  5. [RA] Kivelä: Reaalimuuttujan analyysi
  6. [Schei] Scheinerman: Invitation to dynamical systems

Historiaa

Mitä tarkoittaa ääretän summa? 
   1-1+1-1+1-1+1-1 .....
  (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) .. = 0+0+0+0+0...  = 0
   1 +(-1+1) +(-1+1) + (-1+1) + (-1+1) .....= 1+0+0+0+0 ... = 1
Niin Euler kuin Leibniz kävivät kuumana tämän kysymyksen suhteen. Euler ratkaisi sen näin: 
   1+x+x^2+ ... x^n + ...  = 1/(1-x)    (Geom. sarja, ehdolla |x| < 1).
Euler askaroi paljon hajaantuvien sarjojen kimpussa. Hän laski kaavan oikean puolen arvolla x=-1 ja päätyi siten asettamaan: 
    1-1+1-1+1-1+1-1 .... = 1/2
Leibniz omaksui saman kannan, tosin en tiedä nyt varmasti, millä perusteella. (Täytyy tarkistaa.) Cauchy:n suuri ansio oli siinä, että hän antoi suppenemiselle tarkan määritelmän (jota edelleenkin käytämme). Tämän jälkeen intohimot aiheen ympäriltä hälvenivät. Opittiin myös hyväksymään se, että uusia piirteitä tulee mukaan verrattuna äärellisillä summilla operointiin.

Kerrataan vielä lukujonot

Määr. Jono (z_{n}) suppenee kohti c:tä, jos: 
    \forall \epsilon \exists N s.e. |z_n - c| < \epsilon, kun n > N
Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.)

Raja-arvolauseita

Lause 1 Olk z_{n}=x_{n}+i y_{n}, c=a+i b. lim z_{n} = c JOSS lim x_n = a ja lim y_n = b

Lause 2 Summan, tulon ja osamäärän (jos nimittäjän raja-arvo # 0) pätevät.

Luennolla kerrataan/esitellään funktion raja-arvo ja jatkuvuus, määritelmät eivät muodollisesti taaskaan eroa lainkaan kompleksi- ja reaalitapauksessa.

Vastaavat algebralliset ominaisuudet (Lause 2) pätevät niin funktioden raja-arvoille kuin jatkuville funktioille.

Lause 3 Jos f on jatkuva pisteesä z ja z_n -> z, niin f(z_n) -> f(z).

Lause 4 (vain R) Jos x_n on kasvava ja ylhäältä rajoitettu reaalilukujono, niin on olemassa raja-arvo lim x_n ja se on sup x_n .
Todistettiin jo aiemmin luennolla. Periaate: merk s=sup x_n. Jos eps > 0, niin jonkun x_n:n on oltava suurempi kuin s-eps , muutenhan (s-eps) olisi pienintä ylärajaa pienempi yläraja. Koska jono on kasvava, jää koko loppuosa jonosta ympäristöön [s-eps, s] vangiksi (mikäänhän ei voi olla s:ää suurempi, kun s kerran on yläraja). Siinäpä se.

Lause 5 Suppeneva jono on rajoitettu.
Olkoon raja-arvo = c. Voidaan valita huoletta vaikka eps=1. On olemassa N siten, että kaikki jonon luvut z_n ovat 1-säteisessä, c-keskisessä kiekossa, kun n > N. Kaikki jonon pisteet sijaitsevat silloin O-keskisessä, R-säteisessä kiekossa, kun valitaan R=max(|c|+1, |z_1|, ... , |z_N|). Siispä jono on rajoitettu.
(Jos haluat pitää mielikuvanasi reaaliakselia, niin litistä kiekko yksiulotteiseksi väliksi.)

Lause 6 [Kuristuslause, squeezing lemma]

1. Vakiotermiset sarjat

Annettu jono (z_1, z_2, .... ) = (z_k). Muodostetaan osasummien jono : 
   s_1 = z_1
   s_2 = z_1 + z_2
   ...
   
   s_n = z1 + z_2 + ... + z_n
   ...
Kysymys sarjan suppenemisesta ja summasta tarkoittaa samoja kysymyksiä tämän osasummiin nähden.

Sarjan summaan johtavat askeleet

  1. Määrättävä s_n (differenssiyhtälö, usein vaikea tai mahdoton)
  2. Ratkaistava, suppeneeko s_n
  3. Määrättävä s=lim s_n
Sarjaoppi kesittyy suurimmaksi osaksi kysymykseen 2, yrittämättäkään vastata kysymyksiin 1 tai 3. Toisaaalta 1&3-linjalta saadaan 2-kohtaa olennaisesti edistävää faktaa pelkästään jo geometrisen sarjan avulla, joka toimii erinomaisena vertailusarjana.

Muut kuin geometrista sarjaa (tai "teleskooppisarjaa") koskevat 3.-tulokset ovat enimmäkseen syvällisiä, esim. Fourier-sarjojen suppenemislauseista seuraavia ihmeitä tai esim. Riemannin zeta-funktioon liittyviä vuosisatojensa suurien nerojen keksintöjä (Euler, Riemann, ...).

Teleskooppisarja syntyy tavallisesti osamurtohajoitelmalla:
Esim: 

    1/((2*n-1)*(2*n+1));
    convert(%,parfrac,n);
    Vain 1. ja viimeinen jäävät, "sisätermit" kumoutuvat pareittain.
    Summaksi saadaan 1/2 .

1.1 Yleisiä perusominaisuuksia

Jäännössarja, äärellisen osan poisjättäminen

Sarjan suppenemiseen ei vaikuta äärellinen määrä alkupään termejä. Sarjan summaan tietysti kylläkin.

Merk. R_n = sum(z_k, k=n+1..infinity); jäännössarja Jos sarja suppenee ja sen summa = s, niin R_n = s - s_n -> 0, kun n->infinity

Lause [Välttämätön ehto] Jos sarja sum(z_n,n=1..infinity) suppenee, niin z_n -> 0.

Tod: z_n = s_n - s_{n-1} -> 0 - 0 = 0.

Lause [Lineaarisuus] Ol. sum(z_n) = Z, sum(w_n) = W. Tällöin 

  sum(c*z_n) = c*sum(z_n);
  sum(z_n+w_n)=sum(z_n) + sum(w_n)
Lause [Re/Im] Olk z_n = x_n + i*y_n .
sum(z_n) supp <==> sum(x_n) supp ja sum(y_n) supp.

1.2. Positiivitermiset sarjat

Tässä puhutaan reaalilukusarjoista. Toisaalta valtaosa kompleksisarjateoriasta palautuu tähän, koska tärkeintä on lopulta itseinen suppeneminen.

Puhutaan tässä positiivisuudesta tarkoittaen ei-negatiivisuutta

Lause[PosPer] Positiiviterminen sarja sum(x_n) suppenee, JOSS {s_n | n = 1,2, ... } on ylhäältä rajoitettu.

Tod: Positiivisuudesta seuraa, että osasummat muodostavat kasvavan jonon. Siispä väite palautuu monotonisia lukujonoja koskevaan lauseeseen.

Lause [IT] Integraalitesti. Olk. x_n = f(n), missä f on jatkuva, pienenevä, posit. fkt. Tällöin 

  sum(x_n,n=1..infinity)  ja int(f(x),x=1..infinity)
suppenevat samanaikaisesti.

Tietysi riittää, että 1:n sijasta jostain N:stä alkaen.

p-harmoniset sarjat

Tiedämme, että harmoninen sarja hajaantuu. Selvitämme samantien integraalitestin avulla tapaukset sum(1/(n^p),n=1..infinity).

Lause [p-sarjat] sum(1/(n^p)) suppenee <==> p > 1.

Jatkoa yleisiin positiivitermisiin

Lause [Vertailutesti] x_n >= 0 .
  1. Jos sarjalla sum(x_n) on suppeneva majorantti sum(y_n), y_n >= x_n kaikilla n, niin sum(x_n) suppenee.
  2. Jos sarjalla sum(x_n) on hajaantuva minorantti sum(y_n), y_n <= x_n kaikilla n, niin sum(x_n) hajaantuu.
Huom! Muistathan tässä ja muualla: Sarjan suppenemisen kannalta äärellinen määrä alkupään termejä on merkityksetön. Siksi yllä olevan kaltaiset ehdot tulee ajatella mielessään näin: "kaikilla n jostain indeksistä alkaen".

Tod: Jos suuremmat osasummat ovat ylhäältä rajoitettuja, niin toki ovat nyös pienemmät. Lause palautuu siis suoraan [PosPer]-lauseeseen yllä. Toinen osa seuraa ensimmäisestä "kontrapositiolla": Jos alapuolella oleva hajaantuu, niin yläpuolella oleva ei voi supeta, koska siinä tapauksessa juuri osoitetun mukaan alapuolella oleva suppenisi, vastoin oletusta.

1.3. Itseisesti suppenevat sarjat

Lause Itseisesti suppeneva sarja suppenee.

Tod: Standarditodistus perustuu Cauchyn ehtoon, jota käyttäen tulos seuraa suoraan kolmioepäyhtälöstä.

Vaihtoehtoisesti Cauchyn ehto voidaan haluttaessa välttää pienellä viekkaudella:

Vaihe 1. Reaalisarjat: 

      -|x_n| <= x_n <= |x_n|  =>  0 <= x_n + |x_n| <= 2 |x_n|
Siis oletuksen ja vertailuperiaatteen nojalla sum(x_n + |x_n|) suppenee, joten tämän ja sum(|x_n|):n erotuksena sum(x_n) suppenee.

Vaihe 2. Jos sum(|z_n|) suppenee, niin sum(|x_n|) ja sum(|y_n|), suppenevat, missä z_n = x_n + i y_n . Siis johtopäätös, sum(z_n) supp , seuraa lauseesta [Re/Im].

Lause [Suhdetesti] sum(z_n), z_n #0.

  1. Jos on olemassa q ja N, 0 <=q < 1 s.e. |z_{n+1}/z_n| <= q , kun n > N, niin sarja suppenee
  2. Jos on olemassa N s.e. |z_{n+1}/z_n| >=1 , kun n > N, niin sarja hajaantuu
  3. Jos |z_{n+1}/z_n| <= 1 , kun n > N, ei voida päätellä (eli "testi pettää")
(Nämä eivät ole ainoat mahdollisuudet, mutta muista ei kyllä ole mitään iloa, jos kohta ei 3:stakaan)

Tod: Jos 1. pätee, niin N:stä alkavalla jäännössarjalla on geometrinen majorantti, suhde q < 1. Siis suppenee

2:sta seuraa heti, että sarjan termi ei edes lähene 0:aa joten varmasti hajaantuu.

3:ssa käy kaksi esimerkkiä: 1. Harmoninen: z_n = 1/n. Toteuttaa ehdon 3, mutta sarja hajaantuu. 2. Yliharmoninen, vaikkapa z_n=1/n^2. Toteuttaa myös ehdon 3, mutta sarja suppenee.

Huom! Itseisarvosarjan hajaantumisesta ei yleisesti seuraa itse sarjan hajaantuminen. Mutta tässä, samoin kuin seuraavassa hajaantuminen päätellään siitä, että sarjan termit eivät lähene 0:aa, sehän on aina ja kaikkialla välttämätön ehto sarjan suppenemiselle.

Lause [Suhdetestin raja-arvomuoto] Oletetaan, että 

       on olemassa   L=lim(|z_{n+1}/z_n|
  1. Jos L < 1, niin sum(|z_n|) suppenee
  2. Jos L > 1, niin sum(|z_n|) hajaantuu
  3. Jos L=1, niin testi pettää.
Tod: Palautuu edelliseen: Jos L < 1, niin q=L+b < 1, missä b=(1-L)/2 (vaikkapa) . Eräästä N:stä alkaen on 
             |z_{n+1}/z_n| < L+b  (raja-arvon määritelmän mukaan).
No siinähän on edellisen lauseen ehto 1 ja homma toimii.

Kohdass 2 taas jokin L-b > 1 ja saadaan epäyhtälö toisinpäin jostain N:stä alkaen. Niinpä edellisen lauseen kohta 2 puree.

Jos raja-arvo=1, kelpaavat samat esimerkit kuin äskenkin.

Juuritesti
Aivan samat johtopäätökset saadaan tarkastelemalla suhteen sijasta jonoa (|z_n|^(1/n)) (jonon alkion n:s juuri). Esitellään raja-arvo:

Lause [Juuritestin raja-arvomuoto] Oletetaan, että 

       on olemassa   L=lim(|z_n|^(1/n))
  1. Jos L < 1, niin sum(|z_n|) suppenee
  2. Jos L > 1, niin sum(|z_n|) hajaantuu
  3. Jos L=1, niin testi pettää.
Palaamme tähän potenssisarjojen yhteydessä, "suppenemissäteen" määräämisen suhteen juuritestimuoto on parempi (antaa yleispätevän tuloksen) kuin suhdemuoto. Emme varsinaisesti tarvitse juuritestiin viittausta siinä yhteydessä.

Geometriseen majoranttiin perustuva virhearvio

Jos |z_k| < K q^k, kun k > N, missä 0 < q < 1, niin geometrisen sarjan summan kaava antaa arvion: 

                                     (N + 1)
                                  K q
        |s - s_N |       <       ----------
                                    1 - q
(Kaavaa ei kannata muistella, sehän tulee suoraan geom. sarjan kaavasta.)

Ehdollisesti suppenevat sarjat, vuorottelevat sarjat

Jos sarja ei suppene itseisesti, mutta kuitenkin suppenee, sanotaan: sarja suppenee ehdollisesti.

Onko sellaisia? No ainakin vuorottelevat sarjat, kuten tämä: 

> Sum((-1)^(n+1)/n,n=1..infinity);
                             infinity
                              -----       (n + 1)
                               \      (-1)
                                )     -----------
                               /           n
                              -----
                              n = 1
Yllä oleva vuorotteleva harmoninen sarja suppenee seuraavan nojalla:

Vuorotteleva sarja tarkoittaa sarjaa 

Sum((-1)^(n+1)*x[n],n=1..infinity);
                           infinity
                            -----
                             \          (n + 1)
                              )     (-1)        x[n]
                             /
                            -----
                            n = 1
Tässä kukin x[n] >=0 .

Leibnizin lause Vuorotteleva sarja suppenee, jos

  1. x[n] >= 0 (no sehän oli oletuksena)
  2. x[n+1] <= x[n]
  3. lim x[n] = 0 (välttämätön ehto)
Virhe |s-s[N]| < |x[n+1]|. Virhe on pienempi kuin 1. poisjätetty termi ja samanmerkkinen.

Sarjojen termien järjestämisestä

Lause Jos sarja sum(z[n],n=1..infinity) suppenee itsesesti, niin sen suppeneminen ja summa eivät riipu järjestyksestä.

Tod:

  1. Ol posit. terminen. Tällöin pelataan osasummien jonon sup:lla, joka on järjestyksestä riippumaton.
  2. Jos kyseessä on reaalinen, niin tarkastellaan erikseen positiivisten ja negatiivisten termien summia ja sovelletaan niihin kohdan 1 tulosta. Sarjojen lineaarisuuslause antaa johtopäätöksen.
  3. Kompleksisarja taas jaetaan Re- ja Im-osiin.

2. Potenssisarjat

Nyt kyseessä ovat funktiosarjat, voidaan ajatella ääretönasteisina polynomeina.

alaind: yläind: R^n Rn