Olk. p(x) = sum(L_j(x),j=0..n) - 1.
p(x_j)=0, koska L_j(x_k) = delta_{j,k} (=1, kun k=j, =0, kun k#j).
Koska kyseessä on korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolla on (n+1)
erillistä 0-kohtaa, on oltava p(x)=0 kaikilla x.
(Vielä kerran: n:nnen asteen polynomi (p) voidaan saattaa muotoon
p(x)=c(x-x_0)(x-x_1) ... (x-x_{n-1}) .
Mutta myös p(x_n)=0 ja koska x_n on eri piste kuin muut, on tulon nollasäännön
mukaan olatava c=0, eli p(x)=0 kaikilla x. (Tässä nyt tuli uudestaan se luennolla esitetty POLY_1-lause.)
z1z2 = 0 <==> z1=0 tai z2=0Harjoituksissa joku ehdotti, että jos x1=0 ja y1=0, niin siitähän näkee, että on oltava z1z2 = 0.
Sanoin, että päättely menee väärään suuntaan. No se ei ollut sikäli ihan oikein sanottu, että pitäähän sekin suunta hoitaa, tosin se on se helpompi.
Joka tapauksessa varsinainen homma on implikaatiossa ==> , sitä siis tarkoitin.
Yksikköympyrän kuvausmysteeri selvinnyt
Henrikin näyttämän kuva mysteeri johtuu tästä: Jos liikuskellaan yksikköympyrän kehällä, niin
z=exp(I*t) ==> 1/z = exp(-I*t)
Siispä z+1/z on reaalinen ja kuva on siis pelkkä reaaliakselin osa.
No jos koordinaatiston skaala on ennalta kiinnitetty, ei hätää, silloin
kannattaa poistaa koordinaattiakselit, jotta kuva ei peity x-akselin alle.
Henrikin tapauksessa kuva skaalautui datan mukaan, jossa on suuruusluokkaa vaikkapa 10-10 luokkaa olevia lukuja aika satunnaisesti pyöristyneinä. Akselien lukemissahan olikin jotain tuollaista, minulta vain jäi tuo miinus-merkki noteeraamatta.