Harjoitustehtäviin 4 liittyviä ohjeita ja ehdotuksia

Alkuviikko

Loppuviikko

Muista tämä:

read("/p/edu/mat-1.414/maple/v201.mpl"):

Teht. 1

Lisäsin tiedostoon sarjojen järjestämiseen liittyvän funkion:

# Termien järjestäminen
# Järjestetään sarjan termit järjestykseen:
# (x(1)+x(3)+x(2)) + (x(5)+x(7)+x(4)) + ...
#  (Kaksi paritonta + yksi parillinen) + ...
# Palautetaan indeksivektori
# 

jarj132:=proc(n)
local ind,iplus,iminus,k;
iplus:= seq(2*k-1,k=1..3*n);
iminus:=seq(2*k,k=1..n);
ind:=map(op,[seq([iplus[2*k-1],iplus[2*k],iminus[k]],k=1..n)]);
end:

Esim. vuorotteleva harmoninen sarja

# x:=k->(-1)^(k+1)/k;             # Yleinen termi
# ind:=jarj132(8);nops(ind);      
# add(x(i),i=ind):evalf(%);
# add(x(i),i=1..nops(ind)):evalf(%);
# jarj132(10);sort(%);            # Näitä on havainnollista verrata.

Tämä antanee valaistusta sarjojen uudelleenjärjestämisestä. Voit miettiä, miksi positiiviterminen (ja siis itseisesti suppeneva) sarja käyttäytyy mallikkaasti, kun taas ehdollisesti suppeneva ei.

Jos lasket vaikka alkup. sarjan osasumman s_100, saat varman ylärajan sarjan summalle. Tietenkään Leibnizin virhekaava ei sovellu järjestettyyn sarjaan, mutta ainakin kokeellisesti näet, että tulokset poikkeavat varsin selvästi.

Teht. 3

Kannattaa myös piirtää sarjojen esittämiä funktioita. Ihan hyvä, jos piirrät vain reaaliakselillakin. Potenssisarjatehtävissä kannattaa usein määritellä osasummia laskeva funktio tyyliin:

s:=(z,n)->add(a(k)*z^k,k=0..n);

Esim. tehtävässä 3b) voitaisiin tehdä tähän tyyliin:

a:=n->((2+(-1)^k))^(-k);
plot([s(z,10),s(z,20),s(z,30)],z=-1..1,color=[red,blue,green]);

Teht. 4

Tämä on suhdetestityyppiä, jos mikä. Vaikeutena voi olla raja-arvon määrääminen. Eräs mahdollisuus on käyttää logaritmin sarjakehitelmää, oikeammin Taylorin lausetta sovellettuna log(1+x):ään. Helpoimmin se käy Maplen series tai taylor-komennolla (joka antaa oikean jäänöstermin O(h^(n+1))-muodossa ). Annetaanpa tässä aika valmiiksi pureskeltuja Maple-ajatuksia: (Tee ihmeessä kaikki vaiheet itsellesi selviksi.)

n:=30:c[1]:=1.: for k from 1 to n do
c[k+1]:=evalf((k-k^2*ln((k+1)/k))*c[k]): od:
s:=(z,m)->add((c[k]*z^k,k=1..m));
plot([seq(s(z,k),k=10..n)],z=-2.1..2,color=[red,blue,green]);
display([seq(plot(s(z,k),z=-2.2..2),k=20..n)],insequence=true);

Kaksi alimmaista riviä edustavat kahta tyyliä piirtää. Ensimmäinen on kai hieman yksinkertaisempi. Jälkimmäinen on tässä tarpeen siksi, että pisteessä -2 sarja käyttäytyy kenties odottamattoman näköisesti. Animaatio auttaa näkemään, mitä siinä tapahtuu.

Teht. 6

Tähän tullee ohjetta ...