\documentclass[finnish,12pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{1}{3--4}{22--26.1}

Harjoitussysteemi:

ke 10--12: AV: Perinteinen, enimmäkseen liitutauluharjoitus \\
to 10--12: KV: Yhdessä työskentelyä, muutakin kuin ohjelmiston syntaksia.\\
pe 8-10:   LV: Oppilaat esittelevät omia ratkaisujaan, videotykki, liitutaulu,
www-sivut, Maple-ws:t ym.

1. viikko (3) {\bf Vain torstaina}, silloin siis neuvontaharjoitus. 
(Jos halutaan erillistä
Maple-opetustilaisuutta, voidaan järjestää.)

\subsubsection*{Alkuviikko (AV), ke 1.2.}

\begin{enumerate}
\item
Olkoon $z=x+i y$. Sievennä 

a) $\Im (\frac{1}{z})$ % lausuttuna $\Im z$:n ja $|z|$:n avulla.

b)  $\Im (z^4) $ 

c) $\Re(\frac{z}{\overline z})$ 

\item Todista kompleksilukujen tulon nollasääntö: 

$z_1 z_2 =0 \iff
z_1 = 0 \or z_2 = 0$


\item
Lausu {\em De Moivre'n kaavaa} hyödyntäen $\cos 3\Theta$ ,$\cos 4\Theta$ 
ja $\sin 5\Theta$ 
$\cos \Theta$:n ja  $\sin \Theta$:n avulla.

% * Tästä Maple-tehtävä myös

\item
Ykkösen n:nnet juuret olkoot $w_n^k, k=0 \ldots n-1$.
(Tässä yläindeksi voidaan tulkita joko indeksiksi tai potenssiksi.)

Olkoon $n \ge 1$ ja $1 \leq k \leq n-1$. Osoita, että

$$\sum_{j=0}^{n-1} (w_n^k)^j = 0 .$$

Vihje: Geometrinen summa (ei tarvitse kaivaa MAOL:ia, osaathan johtaa).

Tulkitse myös geometrisesti (kumpihan on ``geometrisempaa'').
 

\item
Kompleksiluvulla $e^{i\alpha}$ kertominen suorittaa kierron kulman
$\alpha$ verran.
Tämähän on vanha C1-tuttu olio, tason $\R^2$ lineaarikuvaus, jolla
niin ollen on matriisiesitys. 
Johda kiertokuvauksen matriisiesitys muodostamalla tulo
$w=e^{i\alpha} z$, $z=x+iy=re^{i\Theta}$ 

Pieni ("vapaaehtoinen") jatko-osa:

Tästä on helppo yleistää mielivaltaisella kompleksiluvulla 
$R e^{i\alpha}$
kertomiseen. Miten kuvausta voi sanoin kuvailla ?

\item

a) Määritä $\sin i$ ja $\cos i$ .

b) Määritä ne $z$:n arvot, joilla $e^z$ saa arvot $2, -1, i$, näin
tulet laskeneeksi ko. lukujen (eräät tai kaikki) logaritmit.

\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV), pe 26.1.}


\subsubsection*{Joitakin Maple-viitteitä}
\begin{verbatim}
 http://www.indiana.edu/~statmath/math/maple/plotting/index.html 
 http://www.math.hut.fi/teaching/k3/maple-pikaopas.html 
 http://www.math.hut.fi/~virranko/mplopas/kansi1.htm
 http://solmu.math.helsinki.fi/1999/5/apiola/ 
 [HAM] Apiola: Symb. ja num. mat. Maple-ohjelmalla Otatieto 588
\end{verbatim}

Tässä harjoituksessa tarvitaan erityisesti näitä Maple-taitoja:

\begin{verbatim}
plot, seq, map, subs, with(plots), complexplot, plot3d 
kuva1:=xxxplot(...): # Kuvan tallettaminen muuttujaan, muista (:) 
kuva2:=xxxplot(...): #  ... siis ei saa lopettaa (;):een (tai kärsit!)
display([kuva1,kuva2]);  # Näin yhdistetään grafiikkoja.

f:=(x,y)-> 2*x+exp(x*y);  # Esimerkki funktiomäärityksestä
                          
\end{verbatim}


{\bf Funktion ja lausekkeen ero ja käyttö on sitten
osattava ja ymmärrettävä 
vaikka unissaan}. 

\begin{enumerate}

\item
Ykkösen n:nsien juurien käsittelyä varten määrittele Maple-funktio

\verb_ w:=(k,n)->exp(I*2*k*Pi/n); _

Piirrä yksikköympyrä ja kaikki $\root n \of 1$:t joillakin $n$:n arvoilla.

Laadi sitten Maple-skripti, jolla voidaan laskea ja piirtää
syötteenä annetun mielivaltaisen kompleksiluvun kaikki n:nnet juuret.

\begin{verbatim}
> z:=2+3*I : n:=10:   % Muuteltava syöterivi
> juuret:=seq(w(k,n),k=0..n-1);
> ? complexplot
\end{verbatim}

Huomaa, että $e^{i\Theta}, \ \ \Theta\in [0,2\pi)$ "piirtää"
yksikköympyrän. \verb_ complexplot_ on juuri reaalimuuttujan 
kompleksiplotti.

Kts. tarkemmin {\tt ../L/kompluvut.html} (luentosivuissa).

\item
Sivuilla \verb_L/kompluvut.html_ ja \verb_L/komplfunkt.html_
on esimerkkejä, mm. funktiosta $w=f(z)=z^2$.

Selvitä ja selosta, miten toimii. Täydennä kuvaa piirtämällä
kullekin z-tason käyräparvien rajaamalle alueelle piste ja
samanvärinen piste vastaavalle kuva-alueelle w-tasossa.
(Alueen vaihtuessa vaihda väriä.) Voit keksiä muitakin tapoja
havainnollistaa alueiden kuvautuvuusvastaavuuksia.

Käsittele sitten samaan tapaan funktiota $w=f(z)=z^3$


\item
Tutki eksponenttifunktiota. 

a) Piirrä koordinaattiristikko ja sen kuva. Selvitä, miten mitkäkin
viivat (ja alueet) kuvautuvat.

b) Piirrä 3D-kuva: $|e^z|$, missä värillä ilmaistaan funktion $e^z$ 
argumentti ({\em arg}). (Väri toimii 4:ntenä ulottuvuutena.)

c) Piirrä $arg(e^z)$, missä värillä ilmaistaan itseisarvo.

Katso taas mallia \verb_L/kompluv.html ja L/komplfunkt.html_ -
sivuista.

Selosta exp-funktion perusominaisuudet kuvien avulla. Muista, että
kyseessä on matematiikan tärkein funktio, suhtaudu tehtävään riittävällä
arvokkuudella.


\item
Lue KRE Exa 3, s. 677 (Joukowski airfoil), siinä tutkitaan kuvausta
$f(z)=z+\frac{1}{z}$. 
\begin{itemize}
\item
Selvitä (kynä/liitu) origokeskisten ympyröiden kuvautuminen. 
\item
Vaikka emme ole käsitelleet vielä kompleksifunktioiden derivointia,
derivoi reaalifunktioista tuttujen sääntöjen mukaan ja totea nollakohdat ($-1,1$). Nämä ovat erikoispisteitä, joissa kuvaus ei ole
"konforminen".
\item
Piirrä joitakin ympyröitä, joiden keskipiste on imaginaariakselilla
ja jotka kulkevat pisteiden $-1$ ja $1$ kautta ja piirrä vastaavat
kuvajoukot.
\end{itemize}



\end{enumerate}

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

AV

\item
Olkoon $z=x+i y$. Sievennä 

a) $\textit{Im} (\frac{1}{z})$ % lausuttuna $Im z$:n ja $|z|$:n avulla.

b)  $\textit{Im} (z^4) $ 

c) $\textit{Re}(\frac{z}{\overline z}$  vaiko bar

\item Todista kompleksilukujen tulon nollasääntö: $z_1 z_2 =0 \iff
z_1 = 0 | z_2 = 0$


\item
Lausu De Moivre'n kaavaa hyödyntäen $\cos 3\Theta$ ja $\sin 3\Theta$ 
$\cos \Theta$:n ja  $\sin \Theta$:n potenssien avulla.

* Tästä Maple-tehtävä myös

\item
Ykkösen n:nnet juuret olkoot $w_n^k, k=0 \ldots n-1$.
(Tässä yläindeksi voidaan tulkita joko indeksiksi tai potenssiksi.)

Olkoon $n \ge 1$ ja $1 \leq k \leq n-1$. Osoita, että

$$\sum_{j=0}^{n-1} (w_n^k)^j = 0 .$$

Vihje: Geometrinen summa.

Tulkitse myös geometrisesti (tulipa geometrista, vain jälkimmäinen oikeasti).
 

\item
Kompleksiluvulla $e^{i\alpha}$ kertominen suorittaa kierron kulman
$\alpha$ verran.
Tämähän on vanha C1-tuttu olio, tason $\R^2$ lineaarikuvaus, jolla
niin ollen on matriisiesitys. 
Johda kiertokuvauksen matriisiesitys muodostamalla tulo
$w=e^{i\alpha} z$, $z=x+iy=re^{i\Theta}$ 

Pieni ("vapaaehtoinen") jatko-osa:

Tästä on helppo yleistää mielivaltaisella kompleksiluvulla 
$R e^{i\alpha}$
kertomiseen. Miten kuvausta voi sanoin kuvailla ?




LV

Tässä harjoituksessa tarvitaan erityisesti näitä Maple-taitoja:

\begin{itemize}
\item  plot, seq, map, with(plots), complexplot, plot3d kuva1:=xxxplot(...):
kuva2:=xxxplot(...): display([kuva1,kuva2]);
\item 
\verb_f:=(x,y)-> lauseke, jossa esiintyy x ja y;  # funktiomääritys_

\end{itemize}


\item[n:nnet juuret]

Ykkösen n:nsien juurien käsittelyä varten määrittele Maple-funktio

\verb_ w:=(k,n)->exp(I*2*k*Pi/n); _

Piirrä yksikköympyrä ja kaikki $\root n of 1$:t joillakin $n$:n arvoilla.

Laadi sitten Maple-skripti, jolla voidaan laskea ja piirtää
syötteenä annetun mielivaltaisen kompleksiluvun kaikki n:nnet juuret.

\begin{verbatim}
> z:=2+3*I : n:=10:   % Muuteltava syöterivi
> juuret:=seq(w(k,n),k=0..n-1);
> ? complexplot
\end{verbatim}

Huomaa, että $e^{i\Theta}, \ \ \Theta\in [0,2\pi)$ "piirtää"
yksikköympyrän. \verb_ complexplot_ on juuri reaalimuuttujan 
kompleksiplotti.

Kts. tarkemmin {\tt ../L/kompluvut.html} (luentosivuissa).

\item
Sivuilla \verb_L/kompluvut.html_ ja \verb_L/kompfunkt.html_
on esimerkkejä, mm. funktiosta $w=f(z)=z^2$.

Selvitä ja selosta, miten toimii. Täydennä kuvaa piirtämällä
kullekin z-tason käyräparvien rajaamalle alueelle piste ja
samanvärinen piste vastaavalle kuva-alueelle w-tasossa.
(Alueen vaihtuessa vaihda väriä.) Voit keksiä muitakin tapoja
havainnolliostaa alueiden kuvautuvuusvastaavuuksia.

Käsittele sitten samaan tapaan funktiota $w=f(z)=z^3$


\item
Tutki eksponenttifunktiota. 

a) Piirrä koordinaattiristikko ja sen kuva. Selvitä, miten mitkäkin
viivat (ja alueet) kuvautuvat.

b) Piirrä 3D-kuva: $|e^z|$, missä värillä ilmaistaan funktion argumentti. (Väri toimii 4:ntenä ulottuvuutena.)

c) Piirrä $arg(e^z)$, missä värillä ilmaistaan itseisarvo.

Katso taas mallia \verb_L/kompluv.html ja L/komplfunkt.html_ -
sivuista.

\item
Lue KRE Exa 3, s. 677 (Joukowski airfoil), siinä tutkitaan kuvausta
$f(z)=z+\frac{1}{z}$. 
\begin{itemize}
\item
Selvitä (kynä/liitu) origokeskisten ympyröiden kuvautuminen. 
\item
Vaikka emme ole käsitelleet vielä kompleksifunktioiden derivointia,
derivoi reaalifunktioista tuttujen sääntöjen mukaan ja totea nollakohdat ($-1,1$). Nämä ovat erikoispisteitä, joissa kuvaus ei ole
"konforminen".
\item
Piirrä joitakin ympyröitä, joiden keskipiste on imaginaariakselilla
ja jotka kulkevat pisteiden $-1$ ja $1$ kautta ja piirrä vastaavat
kuvajoukot.


\end{itemize}








