$Kotiin$

Mat-1.414 V2 luennot

Sisällys
Yhden muuttujan integraalilaskennan täydennystä, ohjelmistojen (Matlab, Maple) käytön kertausta ja aktivointia Osittaisintegrointi, rationaalifunktiot, osamurtokehitelmät Epäoleelliset integraalit	Viikko 1
Numeerisia menetelmiä (osa 1) Taylorin lauseen kertaus Tietokonearitmetiikka, numeerisen laskennan luotettavuus ja virhelähteet Interpolointi ja numeerinen integrointi Newtonin menetelmä ja iteraatiot, 1-ulotteinen optimointi Lineaarialgebran täydennystä ja numeriikkaa	Viikot 2-4
Summia ja sarjoja, induktiotodistuksia	Viikot 5-6
Usean muuttujan funktioiden raja-arvot, jatkuvuus ja osittaisderivaatat Gradientti, vektoriarvoisen funktion derivaatta, differentiaali, ketjusääntö, suunnattu derivaatta, pinnan tangenttitaso ja normaali	Viikko 7
Usean muuttujan Newtonin menetelmä ja optimointi Epälineaariset yhtälösysteemit Epälineaarinen optimointi, sidotut ääriarvot, pienimmän neliösumman menetelmä Lineaarinen optimointi (Simplex ja sisäpistemenetelmät)	Viikko 8
Tasointegraali, integrointijärjestyksen vaihto, sovelluksia pinta-aloihin, painopisteisiin ym.	Viikko 9
Avaruusintegraali, integrointi napa- sylinteri- ja pallokordinaatistoissa, käyräintegraalit, hiukan vektorikentistä	Viikko 10
Greenin lause, Pinnat ja niiden parametriesitykset, integrointi yli kaarevan pinnan, divergenssi ja roottori (Ei nablaussulkeisia!)	Viikko 11
Tavallisia differentiaaliyhtälöitä ja systeemejä Suuntakentät, kvalitatiivista teoriaa Analyyttisia ratkaisumenetelmiä (suppeasti + Maple) Ominaisarvomenetelmiä, lineaarisia systeemejä, värähtelyilmiöt Numeerisia menetelmiä, epälineaarisia systeemejä, sovelluksia: heiluri, populaatiodynamiikka, bifurkaatiot	Viikot 12-13

Huom! Avaruusintegraalit voidaan tarvittaessa siirtää v3:n puolelle. Vastaavasti voidaan viettää enemmän aikaa esim. optimoinnin parissa.

Yhden muuttujan integraalilaskennan täydennystä, ohjelmistojen (Matlab, Maple) käytön kertausta ja aktivointia

Kirjallisuutta

Kaikki tähän liittyvä matemaattinen aines löytyy pääkurssikirjastamme Adamsista. Osalla on ehkä [SKK-Re].

Matematiikka
- [Ad] Adams: Calculus a complete course
- [SKK-Re] Kivelä: Reaalimuuttujan analyysi Luku 10 ss. 133 - 148
  - 10.1 Integraalifunktio (ehkä jo C1:ssä)
  - 10.2 Sijoitus (ehkä jo C1:ssä)
  - 10.3 Osittaisintegrointi (Tästä alkaa luultavasti)
  - 10.4 Rationaalifkt., osamurrot (tarvitaan myöemmin mm. Laplace-muunnoksissa (V3))
  - 10.5 Esimerkkejä (käytetään runsaasti Maplea)
Ohjelmistot
- [SKK-Matl] Kivelä:Matlab opas
- [HAM] Apiola: Symb ja num. laskentaa Maple-ohjelmalla
- [Isr] Israel: Calculus the Maple way

Materiaalia

Maple-luento (Frame)
Maple-luento (Ei-kehys-versio)
Maple-luento (mws)

$Alkuun$

Numeerisia menetelmiä

Kirjallisuutta

[BurF] Burden-Faires Kirjassa on erinomainen harjoitustehtäväkokoelma, siitä saadaan paljon hyviä pikkuprojektiaiheitakin ja moninaisia sovellutuksia.
[AfterN] Stewart: Afternotes
[CSCnk] Haataja et al: Numeeriset menetelmät käytännössä CSC Marraskuu1999
[AtkElem] Atkinson: Elementary Numerical Analysis

Luentomateriaalia

HTML-pruju (kehittyy kaiken aikaa)
latex/nummenet.tex

Burden-Faires-kirjan lukuohje

Ch 1 Mathematical preliminaries

1.1 Review of Calculus ss. 1-12

Jatkuvuus, derivaatta, Rollen lause, väliarvolause (Mean value thm), ääriarvolause, integraalilaskennan väliarvolause, "intermediate value thm" , Taylorin lause , lisäksi polynomien evaluaatiosta [AtkElem] ss. 13 - 17 mukaan.

1.2 Round-Off Errors and Computer Arithmetic ss. 12 - 24

Lukujen esittäminen tietokoneessa, IEEE-standardit (32 ja 64 bittiset), Binääri- desimaali- ja HEX-muunnokset, konevakiot, yli/alivuoto, kone-epsilon, pyöristysvirheet

1.3 Algorithms and convergence ss. 24 - 25

Numeerisesti (epä)stabiilit algoritmit, virheen lineaarinen/ eksponentiaalinen kasvu, suppenemisnopeus (lineaarinen, kvadraattinen etc.)

CH 2 Solutions of equ in one variable

2.1 Bisection ss. 40 - 46

Ota myös "sataosaa", Matlab-toteutus ja virhearvio + suppenemisnopeus
2.2 Fixed point iteration ss. 46 - 56

Myös attraktiiviset ja repulsiiviset kiintopisteet, cobweb-piirrokset Maplella ja Matlabilla (kts. [HAM] ss. 64 - 67)
2.3 Newton-Raphson ss. 56-69

Myös sekanttimenetelmä mahd. harjoitusteht. (Jätetään "false position" väliin)
2.4 Iteratiivisten menetelmien virheanalyysia ss. 70 - 82

Lineaarinen ja kvadraattinen suppeneminen, nollakohdan kertaluku.

2.6 Polynomien nollakohdat ss.82-93

Otetaan vain kursorisesti (jotta ymmärretään Matlabin roots ja Maplen roots). Tässä yhteydessä Horner, polynomin arvon laskenta (vrt. edellä) (Tai sitten edellisessä yhteydessä (1.1))

CH 3 Interpolation and polynomial approximation

3.1 Lagrange polynomial ss.98-111

Tämä on hauskaa ja helppoa. Virhekaava Thm. 3.3 s. 101. Sekä Matlab että Maple (valmiit HA:n kirjoittamat koodit (Maple: [HAM ss. 118 - 120])). Opetetaan Matlabin polyfit-polyval-tekniikka ja ajattelutapa. Tehtäväksi mm. Rungen koe (hämmästeltäväksi). Interpolaatiovirheen hallinta ohjelmilla. Nevillen algoritmi kursorisesti.

3.2 Divided differences ss. 112 ->

Tämä vain lyhyesti, riittää Newtonin interpolaatiokonstruktion periaate ilman jaettujen erotusten formalismia. Newtonin interpolaatiopolynomin esitysmuoto (ja sen elegantti Matlab-ilmaisu) Tarvittaessa voidaan jättää pelkän maininnan varaan.

3.4-3.6 Cubic splines, parametric curves, Bezier curve ss.130 - 154

Splinikonstruktion periaate, ei mennä yksityiskohtiin, käytetään Maplen spline (readlib(spline), [HAM s. 74] ja Matlabin spline. Sopivia pikku projekteja: Piirrä paperille käyrä ja rekonstruoi splinisovituksella. (Täytyy ymmärtää parametrisoida sopivasti.)

CH 4 Numeerinen derivointi ja integrointi

4.1 Numerical Differentiation ss. 156-168

Lyhyesti, jokunen harjoitustehtävä, ymmärrys, miksi tämä on häiriöaltis tehtävä.
4.3 Elements of numerical integration ss. 174-183

Trapetsi ja Simpson. Periaate: Integroidaan Lagrangen interpolaatiokaavoja (alhaista astetta). Saadaan Newton-Cotes-kaavoja, joista alimmat ovat juuri trapetsi ja Simpson.

4.5 Adaptiiviset algoritmit ss. 192-199

Periaate: Siellä, missä funktio muuttuu nopeasti, diskretoidaan hienommin, algoritmit perustuvat Taylorin kaavan antamiin lokaaleihin virhearvioihin. Asia on tyyppiä "hyvä tietää", kts. myös [NumRecip] lennokkaita selityksiä. Palataan uudestaan diffyhtälöiden numeriikan yhteydessä.

4.6 Gaussian quadrature ss. 205-211

Nämä ovat niitä oikeasti käytettäviä, parhaita ja helposti ohjelmoitavia (Gaussin painokertoimia on taulukoituna tarkasti (voidaan generoida Maplella)). Tarvitsee osata palauttaa lineaarisella muuttujan vaihdolla annettu integraali "taulukkovälille" [-1,1].