Mat-1.3081 Algebra I, Harjoitus 4

1) Oletetaan, että ryhmät G ja G1 ovat
isomorfiset. Todista seuraavat väitteet:
a) Jos G on Abelin ryhmä, myös G1 on Abelin ryhmä.
b) Jos G on syklinen ryhmä, myös G1 on syklinen.


2) Olkoon H ryhmän G aliryhmä ja a, b \in G. Osoita, että
a) Ha=H joss a \in H
b) Ha=Hb joss ab^{-1}\in H
c) Joko Ha=Hb tai Ha \cap Hb = \emptyset 
d) H:n pistevieraat oikeat sivuluokat muodostavat G:n osituksen.

3) Olkoon G=<a> ja ord(a)=12. Etsi aliryhmien
H=<a^4> ja K=<a^3> oikeat sivuluokat.

4) Osoita, että ord(a)=ord(b^{-1}ab)

Merkitään ( Z / (n) )* ryhmää, jossa lähtöjoukkona on Z_n jonne on 
määritelty kertolasku edustajien avulla.  Sen jälkeen puoliryhmästä 
(Z_n, \dot) otetaan invertoituvat alkiot. Näin saadaan ryhmä 
( Z / (n) )*, jonka kertaluku \phi(n) missä phi on Eulerin funktio.

5) Etsi   ( Z / (13) )*:ssa alkioiden 2,4 ja 8 kertaluvut.

6) Määrää ryhmän G = ( Z / (15) )* aliryhmän A = {1, 4} kaikki sivuluokat.



Kaiken varalta:  \cap = leikkaus :)